En geometría, un cono es una figura tridimensional con una superficie plana y una superficie curva apuntando hacia la parte superior, donde el extremo puntiagudo se llama vértice o vértice. Un cono circular recto es un cono que tiene su vértice sobre el centro del cono y se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Por otro lado, un cono oblicuo no tiene su vértice por encima del centro del cono, es decir, el eje del cono no es perpendicular a su base. La altura de un cono es la distancia desde el centro de la base hasta el vértice de un cono, mientras que la altura inclinada es la distancia desde el vértice de un cono hasta cualquier punto de la circunferencia de su base circular. Estos son algunos ejemplos de un cono que vemos en nuestra vida diaria: un cono de helado, un embudo, sombreros de cumpleaños, etc.
Volumen de un cono
El volumen de un cono se define como la cantidad de espacio encerrado por un cono, y generalmente se mide en metros cúbicos, centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, etc. La fórmula para el volumen de un cono es igual a un tercio del producto del área de la base y la altura del cono. Generalmente se representa con la letra “V”.
La fórmula para el volumen de un cono se da de la siguiente manera,
Volumen de un cono (V) = (1/3) π r 2 h unidades cúbicas
Donde r es el radio de la base circular,
y h es la altura del cono
Volumen del cono en términos de altura inclinada
La altura inclinada se define como la distancia desde el vértice de un cono hasta cualquier punto de la circunferencia de su base circular. De la figura anterior, podemos notar que se forma un triángulo rectángulo entre el radio de la base, la altura y la altura inclinada. Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos
L 2 = r 2 + h 2
r = √(L 2 -h 2 )
h = √(L 2 – r 2 )
- El volumen del cono en términos de la altura inclinada (L) y la altura (h) es,
Volumen de un cono (V) = (1/3) π(L 2 – h 2 )h
- El volumen del cono en términos de la altura inclinada (L) y el radio de la base (r) es,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 √(L 2 – r 2 )
Derivación del volumen de un cono.
Consideremos que un matraz cónico está lleno de aceite. Ahora, para calcular la cantidad de aceite que llena el matraz cónico, necesitamos saber la capacidad del matraz cónico. Sabemos que la capacidad del matraz cónico es generalmente igual al volumen del cono. Ahora tome una lata cilíndrica que tenga el mismo radio de base y la misma altura que el matraz cónico dado. Ahora transfiera el aceite presente en el matraz cónico a la lata cilíndrica. Pudimos notar que la lata cilíndrica no estaba completamente llena. Entonces, repita el experimento una vez más, y podemos notar que todavía hay algo de espacio vacío en la lata cilíndrica. Una vez más, repite el experimento, y esta vez podemos notar que la lata está llena hasta el borde. Por lo tanto, a partir de la observación,
Asi que,
Volumen de un cilindro = 3 × [El volumen de un cono]
es decir,
Volumen de un cono = (1/3) × [El volumen de un cilindro]
Lo sabemos,
Volumen de un cilindro = πr 2 h unidades cúbicas
Por eso,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
Donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.
Determinar el volumen de un cono
Consideremos un ejemplo para determinar el volumen de un cono.
Ejemplo: Determinar el volumen de un cono si el radio de su base circular es de 3 cm y la altura es de 5 cm.
Paso 1: Anota el radio de la base circular (r) y la altura del cono (h). Aquí, el radio es de 3 cm y la altura es de 5 cm.
Paso 2: Calcula el área de la base circular = πr 2 . Sustituye el valor de r y π en la ecuación dada, es decir, 3,14 × (3) 2 = 28,26 cm 2 .
Paso 3: Sabemos que el volumen de un cono es (1/3) × (área de la base circular) × altura del cono. Entonces, sustituya los valores en la ecuación = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm 3 .
Paso 4: Por lo tanto, el volumen del cono dado es 47,1 cm 3 .
Problemas de muestra
Problema 1: Calcula el volumen de un cono si el radio del círculo es de 4 cm y la altura del cono es de 6 cm.
Solución:
Dados los datos,
Radio (r) = 4 cm
Altura (h) = 6 cm
Lo sabemos,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
⇒ V = (1/3) × 3,14 × (4) 2 × 6
⇒ V = (1/3) × 3,14 × 16 × 6 = 100,48 cm3
Por tanto, el volumen del cono dado es 100,48 cm 3 .
Problema 2: Calcula la altura del cono si su volumen es de 210 cm 3 y el radio de la base circular es de 3,5 cm. [Tome π = 22/7]
Solución:
Dados los datos,
Volumen del cono = 210 cm 3
Radio de la base circular = 3,5 cm.
Lo sabemos,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
⇒ 210 = (1/3) × (22/7) × (3,5) 2 × h
⇒ h = 16,36 cm
Por lo tanto, la altura del cono es de 16,36 cm.
Problema 3: Encuentra el volumen del cono si el diámetro de la base circular es de 10 cm y la altura es de 8 cm.
Solución:
Dados los datos,
Altura (h) = 8 cm
Diámetro (d) = 2r = 10 cm
⇒ Radio (r) = 5 cm
Lo sabemos,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
⇒ V = (1/3) × (3,14) × (5) 2 × 8
⇒ V = (1/3) × 3,14 × 25 × 8 = 209,34 cm3
Por lo tanto, el volumen del cono = 209,34 cm 3
Problema 4: Calcula el diámetro de la base circular de un cono si su volumen es de 264 pulgadas cúbicas y su altura es de 7 pulgadas. [Tome π = 22/7]
Solución:
Dados los datos,
Volumen del cono = 264 pulgadas cúbicas
Altura del cono = 7 pulgadas
Lo sabemos,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
⇒ 264 = (1/3) × (22/7) × r 2 × (7)
⇒ r 2 = 36 ⇒ r = √36 = 6 pulgadas
Diámetro = 2r = 2 × 6 = 12 pulgadas
Por lo tanto, el diámetro de la base circular es de 12 pulgadas.
Problema 5: Determinar el volumen de un cono si el radio de su base circular es de 5 unidades y la altura inclinada es de 13 unidades.
Solución:
Dados los datos,
Radio = 5 unidades
Altura inclinada (L) = 13 unidades.
Lo sabemos,
Altura inclinada (L) = √(r 2 + h 2 )
⇒ altura (h) = √(L 2 – r 2 ) = √[(13) 2 – (5) 2 ]
⇒ h = √(169 – 25) = √144 = 12 unidades
Tenemos,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
⇒ V = (1/3) × (3,14) × (5) 2 × (12)
⇒ V = (1/3) × (3,14) × (25) × (12) = 314 unidades cúbicas
Por tanto, el volumen del cono dado es de 314 unidades cúbicas.
Problema 6: Encuentra el volumen de un cono si su altura inclinada es de 10 pulgadas y su altura es de 8 pulgadas.
Solución:
Dados los datos,
Altura del cono (h) = 8 pulgadas
Altura inclinada (L) = 10 pulgadas
Lo sabemos,
Altura inclinada (L) = √(r 2 + h 2 )
⇒ radio (r) = √(L 2 – h 2 ) = √[(10) 2 – (8) 2 ]
⇒ r = √(100 – 64) = √36 = 6 pulgadas
Tenemos,
Volumen de un cono (V) = (1/3) πr 2 h unidades cúbicas
⇒ V = (1/3) × (3,14) × (6) 2 × (8)
⇒ V = (1/3) × (3,14) × 36 × 8 = 301,44 pulgadas cúbicas
Por lo tanto, el volumen del cono dado es de 301,44 pulgadas cúbicas.
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA