¿Cómo encontrar la ecuación de una función cuadrática?

Una ecuación cuadrática se define como una ecuación algebraica de segundo grado con una variable desconocida. La palabra cuadrática se deriva de la palabra latina “quadratum” que significa “cuadrado”.

La forma estándar de una ecuación cuadrática se da como ax ² + bx + c = 0, donde a, b son los coeficientes y a≠0, c es una constante y x es la variable desconocida .

hacha ² + bx + c = 0

• donde a ≠ 0, a, b y c son números reales

Dado que el grado más alto de la variable es dos, una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces. Las raíces de la ecuación cuadrática se definen como los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática donde es igual a cero. Y las raíces se encuentran usando la fórmula cuadrática,

x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a

Consideremos la forma general de la ecuación cuadrática: 

hacha ² + bx + c = 0, 

• donde a ≠ 0 y a, b, c ∈ R.

o

hacha ² + bx = -c

Ahora divide ambos lados con un as,

x2 + ⁽ b/a)x = -c/a

Ahora suma ambos lados con el término (b/2a) ²

 x2 + (b/a)x + (b/2a)2 = -c/a + (b/2a ^{) 2}

o

x ² + 2. (b/2a) x + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²

o

(x + b/2a) ² = -c/a + b ² /4a ²

= (b ² – 4ac)/4a ²

Ahora aplique la raíz cuadrada en ambos lados como,

x + b/2a = ± (√b ² – 4ac)/2a

x = [±(√b ² – 4ac)/2a] – b/2a

= (-b ± √b ² – 4ac)/2a

Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática de la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 son: 

(-b ± √b ² – 4ac)/2a

dónde, 

b ² – 4ac se llama discriminante (D). 

Discriminante determina la naturaleza de las raíces, es decir, si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales o una solución real, o dos soluciones complejas.

	Valor discriminante (D)	Naturaleza de las raíces
Caso 1	b 2 – 4ac > 0	Dos soluciones reales
Caso 2	b 2 – 4ac = 0	Una solución real
Caso 3	b 2 – 4ac < 0	Dos soluciones complejas

Relación entre las Raíces y los Coeficientes de una ecuación cuadrática:

Sean α y β las raíces de la ecuación cuadrática que se obtienen resolviendo ax ² + bx + c = 0.

• La suma de raíces de la ecuación cuadrática = α + β = -b/a = – coeficiente de x/ coeficiente de x ²
• Producto de raíces de la ecuación cuadrática = αβ = c/a = constante/coeficiente de x ²
• La ecuación cuadrática que tiene raíces α y β se representa como, x ² – (α + β)x + αβ = 0

Problemas de muestra

Problema 1: Encuentra las raíces de la ecuación, 4x ² + 5x + 1 = 0.

Solución:

La ecuación dada es 4x ² + 5x + 1 = 0

Ahora compare lo dado con la forma estándar ax ² + bx + c = 0

Entonces, tenemos a = 4, b = 5, c = 1

Ahora calcule el discriminante (D) = b ² – 4ac = 5 ² – 4(4)(1) = 25 – 16 = 9 > 0

Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación dada tiene dos raíces reales.

x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a

= [-5 ± √9]/2(4)

= [-5 ± 3]/8 x = (-5 + 3)/8 & (-5 – 3)/8

= -2/8 y -8/8

= -1/4 y -1

Problema 2: Encuentra las raíces de la ecuación x ² + 6x + 9 = 0.

Solución:

La ecuación dada es x ² +6x + 9 = 0.

Compare la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c = 0

Entonces, tenemos a = 1, b = 6, c = 9

Ahora calcule el discriminante (D) = b ² – 4ac = 6 ² – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0

Como D = 0, la ecuación dada tiene una solución real

x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a

= [-6 ± √0]/2(1)

= -6/2 

= -3

Problema 3: Encuentra las raíces de x ² + 16 = 0.

Solución: 

La ecuación dada es x ² + 16 = 0.

Ahora compare la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c = 0 

Entonces, tenemos a = 1, b = 0, c = 16

Ahora calcule el discriminante (D) = b ² – 4ac = 0 ² – 4(1)(16) = – 64 < 0

Como D < 0, la ecuación dada tiene dos raíces complejas

x = [-b ± √(b ² – 4ac)]/2a

x = [0 ± √-64]/2(1)

x = ±8i/2, donde ‘i’ es un número imaginario

x = 4i y -4i

Problema 4: Encuentra la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática 3x ² + 6x + 4 = 0.

Solución:

La ecuación dada es 3x ² + 6x + 4 = 0

Ahora compare la ecuación con la forma estándar ax ² + bx + c =0

Entonces, tenemos a = 3, b = 4, c = 4

Ahora calcula el discriminante, 

D = b ² – 4ac 

= 6 ² – 4(3)(4) 

= 36 – 48 = -12 < 0

Como el discriminante (D) es menor que cero, la ecuación tiene dos soluciones imaginarias.

Problema 5: Encuentra la suma y el producto de raíces de la ecuación cuadrática 3x ² + 7x – 2 = 0.

Solución: 

Dado, 3x ² + 7x – 2 = 0

Ahora compare la ecuación dada con la ecuación estándar ax ² + bx + c = 0

Entonces, tenemos a = 3, b = 7 y c = -2

Sean α y β las raíces de la ecuación dada.

Suma de raíces = -b/a = -7/3

Producto de raíces = c/a = -2/3

Problema 6: Encuentra la ecuación cuadrática si la suma de sus raíces = 3/4 y los productos de raíces = 1.

Solución:

Dado, suma de raíces de la ecuación cuadrática = α + β = 3/4

Producto de raíces de la ecuación cuadrática = αβ = 1

Ahora la ecuación requerida que tiene raíces α y β es x ² – (α + β)x + αβ = 0

x2 – ⁽ 3/4)x + 1 = 0 

4x ² – 3x + 4 = 0 es la ecuación cuadrática requerida.