¿Cómo hallar la razón en que un punto divide a una recta?

Geo significa Tierra y metría significa medición. La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de la distancia, las formas, los tamaños, las posiciones relevantes de una figura en el espacio, los ángulos y otros aspectos de una figura. La geometría puede ser además geometría 2D o 3D. La geometría 2D se ocupa de figuras bidimensionales como planos, líneas, puntos, cuadrados, polígonos, etc. mientras que la geometría 3D se ocupa principalmente de figuras tridimensionales o figuras sólidas como cubos, esferas, paralelepípedos, etc. segmento de línea es,

Segmento de línea 

El segmento de línea se caracteriza por dos puntos en el espacio. Un segmento de línea es una línea que une dos puntos distintos en el espacio. La distancia entre estos 2 puntos se conoce como la longitud del segmento de línea que conecta estos 2 puntos.

Propiedades de un segmento de recta

• Un segmento de línea tiene una longitud definida,
• Un segmento de línea no se puede extender en ninguna dirección.
• Un segmento de línea tiene infinitos puntos sobre él.
• Un segmento de línea tiene un nombre fijo, digamos AB, QR, etc. Este nombre denota los 2 puntos que son los puntos finales del segmento de línea.

En geometría, generalmente encontramos problemas en los que se supone que debemos encontrar la razón en la que un punto divide un segmento de línea. En este artículo, discutiremos este concepto junto con un ejemplo. Considere el segmento de línea AB como se muestra en la siguiente figura. El punto O se encuentra en el segmento de línea y lo divide en 2 partes.

Sean las coordenadas de los puntos A, B y O (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ) y (x, y) respectivamente. Se supone que debemos encontrar la razón en la que el Punto O divide al segmento AB. Sea la relación k : 1. Para calcular la relación se procede con la fórmula de la sección que es la siguiente,

 y 

Aquí, m ₁ = k, m ₂ = 1. Usando estos valores en la fórmula anterior obtenemos,

 ⇢ (1)

 ⇢ (2)

Utilice cualquiera de las ecuaciones (1) o (2) para calcular la relación requerida, es decir, k. Veamos un ejemplo.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Calcula la razón en la que el segmento de recta que une los puntos P(1, 8) y Q(4, 2) se divide por O(3, 4).

Solución:

El segmento de línea que une P y Q es como se muestra a continuación:

Dado x ₁ = 1, y ₁ = 8, x ₂ = 4, y ₂ = 2, x = 3, y = 4. Sea la razón k : 1.

Usando la fórmula de la sección,

Poniendo los valores en esta fórmula obtenemos:

Resolviendo para 

3(k+1) = 4k+1

3k+3 = 4k+1

k = 2

Por tanto, el punto O divide al segmento de recta PQ en razón de 2:1.

Pregunta 2: Encuentra la razón en la que el segmento de línea que une los puntos A (-3, 3) y B (-2, 7) se divide por el punto O (1.5, 0).

Solución:

Dado x ₁ = 3, y ₁ = 3, x ₂ = -2, y ₂ = 7, x = 1,5, y = 0

Sea la relación requerida k : 1

Usando la fórmula de la sección, 

Resolviendo para k, obtenemos

1,5k+1,5 = -2k+3

3,5k = 2,5

k = 25/35 = 5/7

Por lo tanto, la relación requerida es 5:7

Pregunta 3: Encuentra la razón en la que el segmento de línea que une A(1,−5) y B(−4,5) está dividido por el eje x.

Solución:

El punto sobre el eje x tendrá la forma (x, 0). Sea la relación k:1

Dado x ₁ = 1, y ₁ = -5, x ₂ = -4, y ₂ = 5, x = ?, y = 0

Usando la fórmula de la sección, 

0 = 5k-5

k = 1

Por lo tanto, la relación requerida es 1:1

Pregunta 4: Si un punto O(x, y) divide un segmento de recta que une A(1, 5) y B(4, 8) en dos partes iguales. Encuentre el punto O.

Solución:

Dado x ₁ = 1, y ₁ = 5, x ₂ = 4, y ₂ = 8

Nos dan que la línea se divide en 2 partes iguales por el punto O. Por lo tanto, la relación es 1:1.

Ahora usando la fórmula de sección,

x= (4+1)/(1+1) = 5/2 = 2,5

También, 

y = (8+5)/(1+1) = 13/2

Por lo tanto, las coordenadas del punto O son (2.5, 6.5)