¿Cómo encontrar la suma y la diferencia de cubos?

El álgebra es una disciplina de las matemáticas que se ocupa del estudio, la manipulación y el análisis de varios símbolos matemáticos. En matemáticas, es el estudio de cantidades desconocidas que comúnmente se describen usando variables. Álgebra ofrece una serie de fórmulas e identidades que se pueden utilizar para evaluar situaciones con múltiples variables. Solo un puñado de las subramas incluyen álgebra lineal, álgebra avanzada y álgebra conmutativa.

Identidades algebraicas

Las identidades algebraicas son relaciones en las que el valor del lado izquierdo es igual al valor del lado derecho. Equilibran todos los valores de las variables. A pesar de que existen muchas identidades algebraicas, la suma y diferencia de cubos es una de las más importantes. Estos se discuten a continuación.

suma de cubos

Al sumar dos polinomios, a ³ + b ³ , se utiliza la fórmula de la suma de cubos. Esta fórmula es fácil de memorizar y puede completarse en cuestión de minutos. Es similar a cómo funciona la fórmula de la diferencia en los cubos.

Fórmula

a ³ + b ³ = (a + b)(a ² – ab + b ² )

Prueba

IZQ = a ³ + b ³

RHS = (a + b)(a ² – ab + b ² )

= a(a ² – ab + b ² )) + b(a ² – ab + b ² )

= a ³ – a2b + ab ² + a ² b – ab ² + b ³

= a ³ – a ² b + a ² b + ab ² – ab ² + b ³

= un ³ + segundo ³ 

= LHS

Por lo tanto probado.

diferencia de cubos

Al restar dos polinomios, a ³ – b ³ , se utiliza la fórmula de la diferencia de cubos. Esta fórmula es fácil de memorizar y puede completarse en cuestión de minutos. Es similar a cómo funciona la fórmula de la suma de cubos. 

Fórmula

a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² )

Prueba

IZQ = a ³ – b ³

RHS = (a – b)(a ² + ab + b ² )

= a(a ² + ab + b ² )) – b(a ² + ab + b ² )

= a ³ + a ² b + ab ² – a ² b – ab ² – b3

= a3 – a ² b + a ² b + ab ² – ab ² – b3

= un ³ – b ³

= LHS

Por lo tanto probado.

Problemas de muestra

Problema 1. Factoriza y ³ – 125.

Solución:

y ³ – 125 = y ³ – 5 ³

Como a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), aquí a = y y b = 5.

= (y – 5) (y ² + (y)(5) + 5 ² )

= (y – 5) (y ² + 5y + 25)

Problema 2. Evalúa 25 ³ – 12 ³ .

Solución:

Ya que, a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = 25 y b = 12.

25 ³ – 12 ³ = (25 – 12) (25 ² + (25)(12) + 12 ² )

= 13 (625 + 300 + 144)

= 13897

Problema 3. Factoriza 8p ³ + 27.

Solución:

8p ³ + 27 = (2p) ³ + (3) ³

Ya que, a ³ + b ³ = (a + b)(a ² – ab + b ² )

(2p) ³ + (3) ³ = (2p + 3)[(2p) ² – (2p)(3) + (3) ² ]

= (2p + 3)[4p ² – 6p + 9]

Problema 4. Factoriza 512 + 729v ³ .

Solución:

512 + 729v ³ = (8) ³ + (9v) ³

Ya que, a ³ + b ³ = (a + b)(a ² – ab + b ² )

(8) ³ + (9v) ³ = (8 + 9v)[(8) ² – (8)(9v) + (9v) ² ]

= (8 + 9v)[64 – 72v + 729v ² ]

Problema 5. Resuelve: 25 ³ + 12 ³ .

Solución:

Ya que, a ³ + b ³ = (a + b) (a ² – ab + b ² ), donde a = 25 y b = 12.

25 ³ – 12 ³ = (25 + 12) (25 ² – (25)(12) + 12 ² )

= 37 (625 – 300 + 144)

= 17353