¿Cómo encontrar un ángulo en un triángulo rectángulo? – Part 1

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que se ocupa de la relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. La palabra trigonometría se deriva de palabras griegas donde ‘tri’ significa ‘tres’, ‘gon’ significa ‘lados’ y ‘metron’ significa ‘medida’. Hiparco es conocido como el “padre de la trigonometría”. La trigonometría se utiliza en diversas aplicaciones en nuestra vida diaria. 

razones trigonométricas

Al usar razones trigonométricas, podemos encontrar los ángulos o lados faltantes de un triángulo rectángulo. Seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente son las seis razones o funciones trigonométricas. Donde una razón trigonométrica se representa como la razón entre los lados de un triángulo rectángulo. 

El lado opuesto al ángulo recto o el lado más largo se conoce como hipotenusa. El lado opuesto al ángulo dado se conoce como lado opuesto y el lado próximo al ángulo dado se conoce como lado adyacente. La función seno se define como la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. La función coseno se define como la razón del lado adyacente a la hipotenusa. La función tangente se define como la razón del lado opuesto al lado adyacente. La función cosecante es recíproca de la función seno. La función secante es recíproca de la función coseno y la función cotangente es recíproca de la función tangente. Por lo tanto, las funciones seno, coseno y tangente son tres funciones trigonométricas primarias.

• sen θ = Lado opuesto/Hipotenusa
• cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa
• tang θ = sen θ/cos θ = lado opuesto/lado adyacente
• cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = 1/cos θ = Hipotenusa/Lado adyacente
• cot θ = 1/tan θ = Lado adyacente/Lado opuesto = cos θ/sen θ 

¿Cómo encontrar un ángulo en un triángulo rectángulo?

Para encontrar el ángulo desconocido del triángulo dado, necesitamos usar razones trigonométricas inversas. Donde las funciones trigonométricas inversas son funciones inversas de las funciones trigonométricas. Sabemos que, sen θ = lado opuesto/hipotenusa.

Ahora, θ = sen ^-1 (lado opuesto/hipotenusa)

Similarmente, 

• θ = cos ^-1 (lado adyacente/hipotenusa)
• θ = tan ^-1 (lado opuesto/lado adyacente)
• θ = cosec ^-1 (hipotenusa/lado opuesto)
• θ = sec ^-1 (hipotenusa/lado adyacente)
• θ = cot ^-1 (lado adyacente/lado opuesto)

Sabemos que usando las seis razones trigonométricas podemos encontrar los ángulos y lados faltantes o desconocidos de un triángulo rectángulo. Pero al usar la fórmula de la regla del seno y la fórmula de la regla del coseno, podemos encontrar los lados y los ángulos de cualquier triángulo dado.

Regla del seno o Ley de los senos

La regla del seno o la ley de los senos es una ley trigonométrica que da una relación entre los lados y los ángulos del triángulo (triángulo no rectángulo). Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo ABC y A, B y C por sus respectivos ángulos opuestos. Ahora la expresión para la regla del seno se da como,

sin A/a = sin B/b = sin C/c (o) a/sin A = b/sin B = c/sin C

Regla del coseno o ley de los cosenos

La regla del coseno o la ley de los cosenos se usa para encontrar el lado o ángulo desconocido de un triángulo. Sean a, b y c los lados y A, B y C los ángulos del triángulo ABC. Ahora las expresiones para la regla del coseno se dan como,

a ² = b ² + c ² – 2ab cos A (o) cos A = (b ² + c ² – a ² )/2bc

b ² = a ² + c ² – 2ac cos B (o) cos B = (a ² + c ² – b ² )/2ac

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C (o) cos C = (a ² + b ² – c ² )/2ab

Problemas de muestra

Problema 1: Encuentra el ángulo ∠ACB (en grados) del triángulo rectángulo ABC cuando AB = 5 cm y AC = 13 cm.

Solución: 

Triángulo ABC

Dado, AB = 5 cm y AC = 13 cm.

Entonces, conocemos la longitud del lado opuesto a ∠ACB y la longitud de la hipotenusa. Por lo tanto, podemos usar la función trigonométrica del seno para encontrar ∠ACB.

sen C = lado opuesto/ hipotenusa

⇒ sen C = AB/AC

⇒ sen C = 5/13

⇒ ∠C = sen ^-1 (5/13) ⇒ ∠C = 22,61°

Por lo tanto, ∠ACB = 22,61°

Problema 2: Encuentra ∠Z (en grados) del triángulo rectángulo XYZ cuando XY = 6 cm e YZ = 8 cm.

Solución:

Triángulo XYZ

Dado, XY = 6 cm e YZ = 8 cm.

Entonces, conocemos las longitudes de los lados opuestos y adyacentes de ∠Z. Por lo tanto, podemos usar la función tangente para encontrar ∠Z

Tenemos, tan Z = lado opuesto/lado adyacente

⇒ bronceado Z = XY/YZ

⇒ bronceado Z = 6/8 = 3/4

⇒ ∠Z = bronceado ^-1 (3/4) ⇒ ∠Z = 36,87°

Por lo tanto, ∠Z = 36,87°

Problema 3: Encuentra ∠A (en grados) del triángulo rectángulo ABC cuando AB = 3 cm y AC = 5 cm.

Solución:

Triángulo ABC

Dado, AB = 3 cm y AC = 5 cm

Entonces, calculamos la longitud del lado adyacente de ∠A y la longitud de la hipotenusa. Por lo tanto, podemos usar la función coseno para encontrar ∠A

cos A = lado adyacente/hipotenusa

⇒ cos A = AB/AC

⇒ porque A = 3/5

⇒ ∠A = cos ^-1 (3/5) ⇒ ∠A = 53,13°

Por lo tanto, ∠A = 53,13°

Problema 4: Encuentra ∠P (en grados) y ∠R (en grados) y la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si PQ = 24 cm y QR = 7 cm.

Solución:

 

Dados los datos, PQ = r = 24 cm y QR = p = 7 cm

Por el teorema de Pitágoras tenemos, p ² + q ² = r ²

⇒ 24 ² + 7 ² = r ²

⇒ r2 ⁼ 576 + 49 = 625

⇒ r = √625 ⇒ r = 25 cm

Tenemos, sen P = lado opuesto/hipotenusa

⇒ sen P = 7/25

⇒ ∠P = sen ^-1 (7/25) ⇒ ∠P = 16,26°

Sabemos que, la suma de los ángulos en un triángulo = 180°

⇒ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°

⇒ 16,26° + 90° + ∠R = 180°

⇒ ∠R = 180° – 16,26° – 90° ⇒ ∠R = 73,76°

Por lo tanto, ∠P = 16,26° & ∠R = 73,76° y PR = q = 25 cm

Problema 5: Encuentra ∠B (en grados) y ∠C (en grados), si ∠A = 30° y AB = 16 pulgadas y BC = 12 pulgadas.

Solución:

Dados los datos, ∠A = 30°, AB = c = 16 pulgadas y BC = a = 12 pulgadas.

Triángulo ABC

Podemos usar la ley de los senos para encontrar ∠B y ∠C.

a/sen A = b/sen B = c/sen C

Considere, a/sen A = c/sen C

⇒ 12/sen 30° = 16/sen C [sen 30° = ½]

⇒ 12/(½) = 16/sen C

⇒ sen C = 16/24 = 2/3

⇒ ∠C = sen ^-1 (2/3) = 41. 81°

Suma de ángulos en un triángulo = 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 30° + ∠B + 41,81° = 180° ⇒ ∠B = 180° – 30° – 41,81°

⇒ ∠B = 101,19°

Por lo tanto, ∠B = 101,19° y ∠C = 41,81°

Problema 6: Encuentra la medida de ∠Y (en grados), si el área del triángulo XYZ = 24 cm ² y YZ = 12 cm y XY = 5 cm.

Solución:

Dados los datos, Área del triángulo XYZ = 24 cm ^2, , YZ = x = 12 cm y XY = z = 5 cm

Triángulo XYZ

De la ley de los senos tenemos, Área del triángulo = ½ × (x) × (z) × sen Y

⇒ 24 cm ² = ½ × (12) × (5) × sen Y

⇒ sen Y = 48/60 = 4/5

⇒ ∠Y = sen ^-1 (4/5)

⇒ ∠Y = 53,12°

Problema 7: Encuentra la medida de los ángulos (en grados) del triángulo PQR cuando PQ = 14 cm, QR = 6 cm y PR = 5 cm.

Solución:

Dados los datos, PQ = r = 5 cm, QR = p = 7 cm y PR = q = 8 cm

Triángulo PQR

Aquí conocemos las longitudes de los tres lados del triángulo PQR. Entonces, podemos usar la ley de la regla del coseno para encontrar ∠Q.

Tenemos, porque Q = (p ² + r ² – q ² )/2pr

⇒ porque Q = {[(7) ² + (5) ² – (8) ² ]/(2 × 7 × 5)}

⇒ porque Q = {[49 + 25 – 64]/70}

⇒ porque Q = 10/70 = 1/7

⇒ ∠Q = cos ^-1 (1/7) ⇒ ∠Q = 81,79°

De manera similar, cos P = (q ² + r ² – p ² )/2qr

⇒ porque P = {[(8) ² + (5) ² – (7) ² ]/(2 × 8 × 5)}

⇒ porque P = {[64 + 25 – 49]/80}

⇒ porque P = 40/80 = ½

⇒ ∠P = cos ^-1 (½) ⇒ ∠P = 60°

porque R = (p ² + q ² – r ² )/2pq

⇒ porque R = {[(7) ² + (8) ² – (5) ² ]/2 × 7 × 8}

⇒ porque R ={[49 + 64 – 25]/112}

⇒ porque R = 88/112 ⇒ porque R = 11/14

⇒ ∠R = cos ^-1 (11/14) ⇒ ∠R = 38,21°

Por lo tanto, los ángulos del triángulo PQR son ∠P = 60°, ∠Q = 81,79° y ∠R = 38,21°