La aritmética es la parte de las matemáticas que consiste en el estudio de los números y las operaciones realizadas sobre esos números. tales operaciones son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la extracción de raíces. La secuencia es una colección/colección enumerada de objetos/números que siguen un patrón definido. Similar a un Conjunto, puede contener un número infinito (posiblemente) de elementos (los miembros de una secuencia se llaman elementos), y también permitía la repetición de números. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6. El número total de elementos en una secuencia se denomina longitud de una secuencia. En el ejemplo anterior, la longitud de la secuencia es 6. Si hay una secuencia presente, como una secuencia de números naturales (1,2,3,4,5,6…), entonces la longitud de esta secuencia se vuelve infinita.
Secuencia aritmética
Una secuencia aritmética también es una secuencia con un patrón definido. Si toma cualquier número en la secuencia y luego lo resta por el anterior, y el resultado es siempre el mismo o constante, entonces es una secuencia aritmética. En AP, la diferencia común es la diferencia constante en todos los pares de números consecutivos o sucesivos en una secuencia. Está representado por D. Por ejemplo: 2,4,6,8. en esta secuencia, la diferencia común es d = 4-2, que es igual a 2. De manera similar, 6-4 = 2, 8-6 = 2. Entonces, la diferencia común de esta secuencia es 2 [Diferencia común = a 2 – a 1 ].
Generalmente, hay dos tipos de secuencias presentes, 1. Secuencia creciente 2. Secuencia decreciente
- Secuencia creciente: –Si la diferencia común (d) entre términos consecutivos en una sucesión es positiva, podemos decir que la sucesión es creciente. Por ejemplo, 5, 10, 15, 20, 25. La diferencia común de la secuencia es +5.
- Secuencia decreciente: –Por otro lado, si la diferencia común (d) entre términos consecutivos en una sucesión es negativa entonces, podemos decir que la sucesión es decreciente. Por ejemplo, 18, 14, 10, 6, 2. La diferencia común es -4.
Encontrar un término en una secuencia
El primer término en una secuencia aritmética se denota como «a», y luego la diferencia común se sigue sumando para obtener el siguiente término. El término n del AP es el término que se encuentra en el lugar n. En la secuencia aritmética, encontrar la fórmula generalizada para el término n significa que se puede encontrar cualquier término, solo se necesita poner el valor de ese término. Por ejemplo, n=1 dará 1 , n=3 dará 3 , y así sucesivamente. La siguiente tabla representa los términos en una secuencia
|
a 1 = Representa el Primer término de la sucesión a 2 = Representa el segundo término de la sucesión a 3 = Representa el Tercer término de la sucesión .. .. a n-1 = Representa el penúltimo o (n-1) término de la secuencia a n = Representa el último o (n) término de la secuencia a n+1 = Representa (n+1) el término de la sucesión |
Para encontrar un término en una secuencia, hay dos formas de determinar,
- Forma/fórmula recursiva para determinar un término (digamos el término r -ésimo ) en una secuencia
a r = a r-1 + d para r>=2
(para el último (n -ésimo ) término) ⇢ a n = a n-1 + d para n>=2
aquí, a r es el r -ésimo término en una secuencia. a r-1 es el (r-1) -ésimo término en una secuencia y d es una diferencia común.
Pregunta: Encuentra el siguiente término 5, 8, 11, 14, 17, 20, ?
Solución:
En esta pregunta primero, tenemos que encontrar una diferencia común. diferencia común = a 2 – a 1 = 8-5 = 3 .
Ahora, usando la fórmula, a r = a r-1 + d, aquí a r-1 = 20
Entonces, r = 20 + 3 = 23.
- Manera/fórmula explícita para determinar un término (digamos r -ésimo término) en una secuencia
una r = una 1 + (r-1)d
(para el último (n-ésimo) término) ⇢ a n = a 1 +(n-1)d
Aquí, a r es el r -ésimo término en una secuencia. a 1 es el primer término en una secuencia y d es una diferencia común y r es el índice del r -ésimo elemento.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el siguiente término en el AP 10, 20, 30, 40, 50,?
Solución:
Diferencia común = a 2 – a 1 = 20-10 = 10
Aquí a 1 = 10 y r o n = 6
Ahora usando la fórmula a r = a 1 + (r-1)d = 10 + (6-1)×10 = 60.
Pregunta 2: Encuentra el siguiente término en la siguiente secuencia, -7, -1, 5, 11, 17,?
Solución:
Diferencia común (d) = a 2 – a 1 = -1-(-7) = -1+7 = 6.
aquí a 1 = -7 y r o n = 6 , aquí r es el índice del elemento r -ésimo ,
Nota: n es el último índice de la secuencia. aquí el índice es el último, así que podemos decirlo tanto como r.
Luego, usando la fórmula, a r = a 1 + (r-1)d = -7 + (6-1)×6 = -7 + 30 = 23.
Pregunta 3: Encuentra el término en medio de la siguiente secuencia 6, 11, ? , 21, 26.
Solución:
Diferencia común(d) = a 2 – a 1 = 11-6 = 5 .
Aquí, a 1 = 6 y r = 3
Luego, usando la fórmula, a r = a 1 + (r-1)d = 6 + (3-1)×5 = 6 + 10 = 16.
Pregunta 4: Encuentra el primer término en la siguiente secuencia, ?, -5, -1, 3, 7.
Solución :
Diferencia común(d) = a 3 – a 2 = -1 – (-5) = -1 +5 = 4
Aquí, conocemos el último término en el dado n = 7. y se ha de determinar un 1 . y n = 5 (último término)
Entonces usando la fórmula , a n = a 1 + (n-1)×d
7 = un 1 + (5-1)*4
7 = un 1 + 16
un 1 = 7-16 = -9
Pregunta 5: Encuentra el siguiente término en la siguiente secuencia. -1/2, -5/6, -7/6,?
Solución:
Diferencia común(d) = a 2 – a 1 = -5/6 – (-1/2) = -1/3
Aquí, a 1 = -1/2 , r o n = 4
Luego, usando la fórmula, a r = a 1 + (r-1)d = -1/2 + (4-1)*-1/3 = -3/2
Pregunta 6: encuentre la fórmula de una secuencia con dos términos dados de la siguiente manera, a 5 = 20 y a 20 = 80.
Solución:
Para un 5 = 20
Usando la fórmula, a n = a 1 +(n-1)*d
entonces, para un 5 = un 1 + (5-1) × d
un 5 = un 1 + 4d
20 = a 1 +4d ⇢ ecuación(i)
de manera similar, para a 20 = a 1 + (20-1)×d
un 20 = un 1 + 19d
80 = a 1 + 19d ⇢ ecuación(ii)
Resuelva ambas ecuaciones por el método de Eliminación. multiplique la ecuación (i) por -1 y súmela a la ecuación (ii) para eliminar un 1 ,
-20 = -a 1 – 4d (cuando la ecuación (i) se multiplica por -1)
80 = un 1 + 19d
Al sumar ambos
60 = 15 d
re = 4
Poner el valor de d en la ecuación (i)
20 = un 1 + 4×4
20 = un 1 + 16
un 1 = 4
entonces a 1 = 4 y d = 4, la fórmula que estamos buscando es,
un n = un 1 + (n-1)d
un norte = 4 + ( n -1) × 4
un n = 4 + 4n -4
un n = 4d.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por akashjindal06 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA