¿Cómo evaluar funciones trigonométricas sin calculadora?

La trigonometría se conoce como la rama de las matemáticas que se ocupa de ciertas medidas de regiones triangulares. Una aplicación común de la trigonometría es la medición de los lados y ángulos de un triángulo. Para ello, utilizamos algunas funciones trigonométricas de ángulos agudos. Estas funciones se definen como ciertas proporciones de un triángulo rectángulo que contiene el ángulo. Los valores de las razones trigonométricas de ciertos ángulos, llamados ángulos estándar,puede obtenerse geométricamente. Estos ángulos son 0°, 30° o π/6, 45° o π/4, 60° o π/3 y 90° o π/2.

Identidades trigonométricas     

En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor de las variables que ocurren en cada lado de la igualdad definida.

Identidades co-funcionales 

• sen θ = cos(90° – θ)
• sec θ = cosec(90° – θ)
• bronceado θ = cuna (90° – θ)

Suplemento de identidades de ángulos 

• sen(π – θ) = sen θ.
• cos(π – θ) = -cos θ
• tan(π – θ) = – tan θ
• cosec(π – θ) = cosec θ
• segundo(π – θ) = -segundo θ
• cuna(π – θ) = -cot θ

Valores de Razones Trigonométricas de 45°.

Sea ABC un triángulo isósceles rectángulo en el que ∠ABC = 90° y AB = BC. De la geometría, ∠ABC = ∠BAC = 45°.   

Si BC = k entonces AB = k.

 ∴ AB ² + BC ² = AC ² (Por el Teorema de Pitágoras)

∴ k ² + k ² = CA ² , o CA ² = 2k ² .

∴ CA = √2 k.

Ahora, sen 45° = sen C= p/h = AB/AC = k/√2 k = 1/√2 

cos 45° = cos C = b/h = BC/AC = k/√2 k = 1/√2 

bronceado 45°= bronceado C= p/b = AB/BC = k/ k = 1 

siendo cosec, sec, cot el recíproco de sin, cos, tan respectivamente tendrán los valores recíprocos de la siguiente manera cosec 45°= √2 ,

sec 45° = √2 y cot 45° = 1.

Valores de Razones Trigonométricas de 30° y 60°

Sea ABC un triángulo equilátero cuyos lados son k. Por geometría, cada ángulo del triángulo = 60°. Sea AD⊥BC. De la geometría, AD biseca ∠BAC y también biseca el lado BC.

∴ ∠CAD = ∠BAD = 30° y CD = BD = k/2.

En el △ADC de ángulo recto,

DA ² + CC ² = CA ²

DA + k ² /2 = k ² O DA = k ² – k ² /4 = 3k ² /4.

DA = √3k/2.

sen 30° = sen∠CAD = p/h = CD/AC = (k/2)/k = 1/2

cos 30° = cos∠CAD = b/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2

tan 30° = tan∠CAD = p/b = CD/AD = (k/2)/(√3k/2) = 1/√3

Como se mostró anteriormente, cosec 30°, sec 30°, cot 30° siendo el recíproco de sen, cos, tan respectivamente tendrán solo los valores recíprocos.

sen 60° = sen∠CAD = p/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2

cos 60° = cos∠CAD = b/h = CD/AC = (k/2)/k =1/2

tan 60° = tan∠CAD = p/b = AD/CD = (√3k/2)/(k/2) = √3

Además, cosec 60°, sec 60°, cot 60° siendo el recíproco de sen, cos, tan respectivamente tendrán solo los valores recíprocos.

Valores de Razones Trigonométricas de 0° y 90°

En un triángulo rectángulo la medida de ningún ángulo puede ser 0°, y tampoco puede haber otro ángulo de 90°. Como hemos visto, las proporciones triangulares de θ (cuando 0° < θ < 90°) se pueden obtener a partir de sus definiciones. Los valores de las razones trigonométricas resultan de la siguiente manera.

sen 90°= 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, seg 0° = 1, 

sen 90° = 1, cos 90° = 0, cot 90° = 0, sec 90° = 1.

No se definen otras relaciones trigonométricas de 0° y 90°.

Valores tabulados

Anglos o proporciones	0°	30° o π/6	45° o π/4	60° o π/3	90° o π/2
pecado	0	1/2	1/√2	√3/2	1
porque	1	√3/2	1/√2	1/2	0
broncearse	0	1/√3	1	√3	No definida
cosec	No definida	2	√2	2/√3	1
segundo	1	2/√3	√2	3	No definida
cuna	No definida	√3	1	1/√3	0

¿Cómo evaluar funciones trigonométricas sin calculadora?

Como se sabe, hay cuatro cuadrantes en trigonometría, siendo el primer cuadrante todos los valores trigonométricos positivos, el segundo cuadrante es donde solo el seno y el cosec son positivos, en el tercer cuadrante solo el tan y el cot son positivos, y en el cuarto el coseno y el sec. son positivos. (Ir en sentido contrario a las agujas del reloj desde la parte superior derecha).

Las proporciones trigonométricas dadas anteriormente de valores estándar, así como las identidades trigonométricas, nos ayudarán a encontrar un ángulo en trigonometría sin una calculadora. Si se da sen 150° para averiguarlo, podemos escribir o elaborar esto como,

Pasos

1. Simplifica sen 150° en sen(90° + 60°).
2. Además, podemos decir sin((1 × 90°) + 60°)
3. Ahora que tenemos un coeficiente impar de 90°, sen cambia a cos.
4. Además, cubre 90° en el primer cuadrante y nuevamente sumando 60° conduce al segundo cuadrante. En el segundo cuadrante, sabemos que el seno es positivo.
5. El resultado final será cos 60°.

Nota Los valores estándar deben memorizarse.

Problemas de muestra

Pregunta 1: encuentre tan 135° sin usar una calculadora.

Solución:

bronceado 135° = bronceado(90° + 45°) = bronceado((1 × 90°) + 45°) = -cot 45° = -1.

Explicación Como aquí también, está presente un coeficiente impar de 90°, por lo que tan cambia a la cuna, y también llega a estar en el segundo cuadrante donde solo el seno y el coseno son positivos y el resto son negativos. De ahí el resultado de tan 135° = – cot 45° = -1.

Recuerda Si el coeficiente de 90° es impar, seno cambia a cos, tan cambia a cot, sec cambia a cosec. Si el coeficiente de 90° es par, la función queda como está y dependiendo del cuadrante aparecerá el signo (+ o -).

Otra forma de resolver, conociendo las fórmulas de suma y resta identidades como sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)  y cos(x + y) = cos(x ) cos (y) – sen(x) sen(y).

Pregunta 2: Encuentra cos 330°.

Solución:

cos(270° + 60°) = (cos 270° × cos 60°) – (sen 270°× sen 60°) = {cos(90° × 3) × 1/2} – {sen(90° × 3 ) × √3/2}

= (-sen 0° × 1/2) – (-cos 0°× √3/2) = 0 + √3/2 = √3/2 = 0,866

Pregunta 3: Encuentra sec 120°.

Solución:

seg 120° = seg(90° + 30°) = -cosec 30° = -2. 

Explicación Aquí, un coeficiente impar de 90° está presente, por lo que sec cambia a cosec, y también llega a estar en el segundo cuadrante donde solo seno y cosec son positivos y el resto es negativo. Por tanto, se obtiene -cosec 30°.

Pregunta 4: Encuentra sen 390°.

Solución:

sen 390° = sen(4 × 90° + 30°) = -sen 30° = -1/2 = -0.5 .

Explicación Aquí, incluso un coeficiente de 90° está presente, por lo que sen permanece como está y llega a estar en el cuarto cuadrante donde solo seg y coseno son positivos y el resto son todos negativos. Por lo tanto, obtenemos -sen 30°.

Pregunta 5: Encuentra cuna 150°.

Solución:

cot 150° = cot(2 × 90° – 30°) = -cot 30° = -√3.

Explicación Aquí, incluso un coeficiente de 90° está presente, por lo que cot permanece como está y llega a estar en el segundo cuadrante donde solo sen y cosec son positivos y el resto son negativos. Por lo tanto, obtenemos -cot 30°.