¿Cómo funciona la regla de la string?

En Matemática Diferencial, la regla de la string es una regla derivada crucial que se utiliza para gestionar funciones compuestas. Solo las derivadas de funciones compuestas se encuentran usando la regla de la string.

Una función compuesta es una función que está escrita dentro de otra función. Por ejemplo, la función compuesta de las funciones f(x) y g(x) es f [g(x)] donde f(x) es la función externa y g(x) es la función interna como Cos(4x) es una función compuesta porque combina dos funciones Cos(x) y 4x. La regla de afuera hacia adentro, la regla de función compuesta o la función de una regla de función son todos los demás nombres para la regla de la string.

String de reglas

La regla de la string establece que la derivada de la función compuesta f(g(x)) es f'(g(x))⋅ g'(x). En otras palabras, Cos(4x), como comentamos anteriormente, es una función compuesta y se puede escribir como f(g(x)) donde f(x) = Cos(x) y g(x) = 4x. Luego podemos calcular la derivada de Cos(4x) usando la regla de la string y las derivadas de Cos(x) y 4x.

Prueba de la regla de la string

Según la notación diferencial de Leibniz , podemos tratar las derivadas como fracciones, es decir, para y = f(x), f'(x) puede tratarse como dy/dx. Por lo tanto,

Para una función compuesta, dy/dx = (dy/du) × (du/dx)

Para justificar esto con una mejor notación, lleguemos al resultado, comenzando con la definición de la derivada.

Dado: y = f(u(x)).

De lo anterior, sabemos que dy/dx = (dy/du) × (du/dx).

Después,

$\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta{x} \to \infty}\frac{\delta{y}}{\delta{x}}$

$=\lim_{\delta{x} \to \infty}\frac{\delta{y}}{\delta{u}}\times\frac{\delta{u}}{\delta{x}}$

$=\lim_{\delta{x} \to \infty}\frac{\delta{y}}{\delta{u}}\times\lim_{\delta{x} \to \infty}\frac{\delta{u}}{\delta{x}}$

Ahora, sabemos que una función que es derivable en un punto c también es continua en el punto c, es decir

∆ u ⇢ 0 como ∆ x ⇢ 0

Después,

$\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta{x} \to \infty}\frac{\delta{y}}{\delta{u}}\times\lim_{\delta{x} \to \infty}\frac{\delta{u}}{\delta{x}}$

$\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$

= f'(g(x)). g'(x)

Esta es la regla de la string. Por tanto, se ha demostrado la regla de la string.

Pasos para diferenciar una función usando la regla de la string con un ejemplo

Usemos la regla de la string para obtener la derivada de la función Sin(x²).

Verifique si la función es una función compuesta, lo que significa que comprende una función dentro de una función. La función Sin(x2) es una función compuesta.
Determine las funciones exterior f(x) e interior g(x). f(x) = Sin(x) y g(x) = x² en este caso.
Ahora solo busque la diferenciación de la función externa. En este caso, f'(x) = Cos (x).
Ahora solo busca la diferenciación de la función interna. En este caso, g'(x) = 2x.
Encuentra aquí el producto de f'(x) y g'(x), que es (2x)Cos(x).

Así, encontramos la derivada de Sin(x ² ), que es (2x)Cos, usando la regla de la String (x).

Problemas de muestra

Problema 1: Resuelve, y(x) = (2x ² + 8) ²

Solución:

Aquí, como puede ver, y(x) es una función compuesta. Entonces se puede escribir como f(g(x)). La función exterior f(g(x)) es g(x)² y la función interior g(x) es 2x ² + 8.

Entonces, f'(g(x)) = 2g(x), aquí g(x) = 2x²+ 8.

Por tanto, f'(g(x)) = 2(2x ² + 8) y g'(x) = 4x.

Ahora y'(x) = f'(g(x)).g'(x)

= 2(2x ² + 8)(4x)

= 16x(x2 + 4) ^.

Problema 2: Resuelve, y(x) = Cos(4x).

Solución:

Aquí, como sabemos antes, y(x) es una función compuesta. Entonces se puede escribir como f(g(x)). La función exterior f(g(x)) es Cos(g(x)) y la función interior g(x) es 4x.

Entonces, f'(g(x)) = -Sin(g(x)), aquí g(x) = 4x.

Por tanto, f'(g(x)) = -Sin(4x) y g'(x) = 4.

Ahora y'(x) = f'(g(x)).g'(x)

= -(Sen(4x))(4)

= -4Sen(4x) .

Problema 3: Resuelva, y(x) = ln(x ² – 1).

Solución:

Aquí, como sabemos antes, y(x) es una función compuesta. Entonces se puede escribir como f(g(x)). La función exterior f(g(x)) es ln(g(x)) y la función interior g(x) es x ² – 1.

Entonces, f'(g(x)) = 1/(g(x)), aquí g(x) = x ² – 1. Por lo tanto, f'(g(x)) = 1/(x ² – 1) y g'(x) = 2x.

Ahora y'(x) = f'(g(x)).g'(x)

= (1/(x ² – 1))(2x)

= 2x/(x ² – 1) .

Problema 4: Resuelva, y(x) = (ln x) ² .

Solución:

Aquí, como sabemos antes, y(x) es una función compuesta. Entonces se puede escribir como f(g(x)). La función exterior f(g(x)) es (g(x))² y la función interior g(x) es ln x.

Entonces, f'(g(x)) = 2g(x), aquí g(x) = ln x.

Por tanto, f'(g(x)) = 2(ln x) y g'(x) = 1/x.

Ahora y'(x) = f'(g(x)).g'(x)

= (2(ln x))(1/x)

= 2(ln x)/(x) .

Problema 5: Resuelve, y(x) = √(x ³ + 56).

Solución:

Aquí, como sabemos antes, y(x) es una función compuesta. Entonces se puede escribir como f(g(x)). La función exterior f(g(x)) es √(g(x)) y la función interior g(x) es x ³ + 56.

Entonces, f'(g(x)) = (1/2)(x ³ + 56) ^-1/2 , aquí g(x) = x ³ + 56.

Por tanto, f'(g(x)) = (1/2)(x ³ + 56) ^-1/2 y g'(x) = 3x ²

Ahora y'(x) = f'(g(x)).g'(x)

= ( (1/2)(x ³ + 56) ^-1/2 ) × ( 3x ² )

= [(3/2) x ² ] / (x ³ + 56) 1/2.

Problema 6: Resuelve, y(x) = ln √x.

Solución:

Aquí, como sabemos antes, y(x) es una función compuesta. Entonces se puede escribir como f(g(x)). La función exterior f(g(x)) es ln(g(x)) y la función interior g(x) es √x.

Entonces, f'(g(x)) = 1/g(x), aquí g(x) = √x.

Por lo tanto, f'(g(x)) = 1/(√x) y g'(x) = (1/(2√x)).

Ahora y'(x) = f'(g(x)).g'(x)

= (1/(√x))(1/(2√x))

= 1/2x .

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por archita2k1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

String de reglas

Prueba de la regla de la string

Pasos para diferenciar una función usando la regla de la string con un ejemplo

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