La probabilidad de cualquier evento se define como la probabilidad de ocurrencia de los eventos sobre el total de resultados posibles. Si hay ‘n’ resultados exhaustivos, mutuamente excluyentes e igualmente probables de un experimento aleatorio. De los cuales, ‘m’ son favorables a la ocurrencia de un evento E
fórmula de probabilidad
La fórmula más básica y general para calcular la probabilidad es
P(n) = (eventos favorables)/(total de eventos
= m/n
Definición de probabilidad de un evento
- Probabilidad del evento A o B = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
- Probabilidad de evento no A = P(A’) = 1 – P(A)
- Probabilidad de evento A pero no B = P(A ∩ B’) = P(A) – P(A ∩ B)
- Probabilidad de evento no A no B = P(A’ ∩ B’) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – Probabilidad de evento A o B.
Explicación de probabilidad
Imagina que tú y tus amigos se divierten jugando. Tienes que lanzar dados en este juego, y sacar seis es suerte. La probabilidad de ganar aumenta con el número de seises que obtenga. ¿Cómo calculas tus probabilidades de ganar? ¿Todos tienen las mismas posibilidades de ganar? Aquí, anotar un seis se considera una victoria.
¿Todos los eventos suceden igual para todos? Ahora estamos familiarizados con la definición de probabilidad. Podemos proporcionar soluciones a fórmulas de probabilidad. Aprenderemos sobre eventos, los diferentes tipos de ocurrencias y una breve definición de álgebra y probabilidad en esta parte.
Ejemplo: digamos que se lanzan dos monedas y debe encontrar la probabilidad de los siguientes eventos.
- Al menos una cola aparece
- No aparecen cabezas
- A lo sumo sale cruz
Entonces, para encontrar la probabilidad de un evento A en un espacio finito S.
P(A)= (número de puntos de muestra en A)/(número total de puntos de muestra en S)
= n(a)/ n(s)
Aquí,
S = espacio muestral total = { HH, HT, TH, TT }
=> n(s) = 4
Al menos una cola aparece
Aquí, sea A un evento cuando aparece al menos una cabeza,
Entonces A = {HT, TH, TT};
n(A) = 3;
P(A) = n(A)/n(S)
= 3/4
No aparecen cabezas
Aquí A es el evento en el que no aparecen cabezas,
entonces A= {TT};
n(A) = 1;
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/4
A lo sumo sale cruz
Aquí A es el evento en el que a lo sumo sale cruz,
entonces A = {HH, TH, HT};
n(A) = 3;
P(A) = n(A)/n(S)
= 3/4
Términos relacionados con la probabilidad
- Experimento aleatorio : un experimento aleatorio es aquel en el que todos los resultados posibles se conocen de antemano pero ninguno de ellos se puede predecir con certeza.
- Resultado : El resultado de un experimento aleatorio se llama resultado.
- Espacio muestral : el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral y se denota con ‘S’.
- Evento: Un subconjunto del espacio muestral se llama Evento.
Eventos y su álgebra
Cualquier subconjunto de un espacio muestral es un evento. En otras palabras, una combinación de resultados de un experimento aleatorio es un evento. Se denota con letras mayúsculas. En un experimento aleatorio de lanzar un dado, un evento puede ser obtener cualquiera de los números del 1 al 6 en su cara superior. Podemos calcular la probabilidad de cualquiera de los posibles eventos. Por ejemplo, la probabilidad de un evento de obtener 5 en un solo lanzamiento de un dado es 1⁄6.
Tipos de eventos
Hay varios tipos de eventos que se utilizan en la probabilidad que se explican a continuación
- Evento sencillo
Cualquier evento es simple si corresponde a un único resultado posible del experimento. En otras palabras, si un evento tiene solo un punto muestral de un espacio muestral, es un evento simple. En un experimento aleatorio de lanzar un dado, el espacio muestral
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El evento E de obtener 5 en la cara superior es un evento simple.
- Evento compuesto
Cualquier evento es Compuesto si corresponde a más de un único resultado posible del experimento. En otras palabras, si cualquier evento tiene más de un punto muestral de un espacio muestral, es un evento compuesto. En un experimento aleatorio de lanzar un dado, el espacio muestral
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El evento E de obtener un múltiplo de 2 es un evento compuesto como E = {2, 4, 6}.
Con base en la teoría de conjuntos, podemos realizar algo de álgebra sobre eventos. Algunos de ellos son la unión o la intersección de hechos. Vamos a estudiarlos en detalle.
- Evento de cortesía
Para cualquier evento E, el evento complementario E’ no muestra E. Se puede suponer que todo resultado que no está en E está en E’. En términos simples, si E denota que el vaso está medio vacío, el evento E’ muestra que el vaso está medio lleno.
Tomemos un ejemplo de lanzar un dado. El espacio muestral, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. E muestra el evento de obtener un número par, es decir, E = {2, 4, 6}. El evento E’ muestra el resultado de no obtener un número par o de obtener un número impar. E’ = {1, 3, 5}.
- Evento A o B
El evento A o B muestra los puntos de muestra de un experimento aleatorio que están en A o B o en ambos.
Evento A o B = A ∪ B
Supongamos que el evento A = {1, 3, 4, 7} y B = {2, 3, 5, 6}.
UN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Evento A y B
Sean A y B dos eventos. El evento A y B muestra los puntos de muestra de un experimento aleatorio que son comunes tanto a A como a B. Es similar a la intersección de dos conjuntos A y B. Evento A y B = A ∩ B.
Tomemos un ejemplo del experimento aleatorio de lanzar un dado. A es el evento de obtener un número par. B es el evento de obtener un múltiplo de 3. A ∩ B muestra el punto de muestra que es común a A y B.
Aquí, A = {2, 4, 6} y B = {3, 6} y A ∩ B = {6}.
- Evento A pero no B
El evento A pero no B muestra los puntos de muestra que están en A pero no en B.
Evento A pero no B = A ∩ B’ = A – A ∩ B.
Este evento muestra los puntos de muestra únicos de A distintos de los de B.
Supongamos que el evento A= {1, 3, 4, 5, 6, 7} y B’ = {2, 3, 5, 6}
entonces, A ∩ B’ = {1, 4, 7}.
- Eventos exhaustivos
El número total de resultados posibles de un experimento aleatorio es un evento exhaustivo. El evento de obtener un número impar y el evento de obtener un número par en un lanzamiento de dado juntos forman un evento exhaustivo.
- Eventos favorables
El número de resultados que muestran la ocurrencia del evento en un experimento aleatorio son eventos favorables. Muestran el número de casos favorables a un evento. En un experimento aleatorio de lanzar dos monedas, el número del evento favorable para que salgan dos cruces es 1.
- Eventos mutuamente excluyentes
Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de los eventos excluye la posibilidad de que ocurra el otro en el mismo camino. Además, podemos decir que no pueden ocurrir dos o más eventos simultáneamente. Los eventos de cara y cruz al lanzar una moneda son mutuamente excluyentes. Sólo uno de ellos puede suceder.
- Eventos igualmente probables
Un evento en el que todos los resultados tienen la misma oportunidad de ocurrir. Al lanzar un dado, las seis caras tienen la misma probabilidad de salir.
- Eventos independientes
Dos eventos son independientes si no hay efecto sobre el acontecer y el no acontecer de uno por los otros. Al lanzar un dado, el resultado de obtener 2 en un primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo y otros lanzamientos.
- Eventos imposibles
Los eventos que son imposibles de suceder entran en la categoría de eventos imposibles. El conjunto vacío Φ es un conjunto imposible. Considere un ejemplo de un paquete de 52 naipes, el evento de obtener una carta del número 12 es imposible.
Problemas de muestra
Problema 1: encuentre la probabilidad de que un mes elegido al azar tenga su día 15 en lunes,
Solución:
Así que resolvamos esto paso a paso,
La probabilidad de elegir cualquier mes de los 12 meses dados es 1/12
Hay 7 días posibles en los que puede caer el día 15 de un mes. Así que la probabilidad de que caiga en lunes es 1/7.
Por lo tanto, la probabilidad de que un mes elegido al azar tenga su día 15 en lunes es
1/12 × 1/7 = 1/84
Problema 2: Supón que hay 4 bolas rojas, 6 azules y 2 verdes en una bolsa. Se extraen dos bolas al azar de la bolsa. Halla la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas.
Solución:
Número total de bolas en la bolsa = 4 + 6 + 2 = 12.
Se extraen dos bolas al azar.
El número total de formas en que se extraen dos bolas cualesquiera = 12 C 2 = 66.
El número de casos favorables de obtener dos bolas rojas = 4 C 2 = 6.
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 6⁄66 = 1/11.
Problema 3: A, B y C son tres eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos de un experimento aleatorio. Si P(A) = 4⁄5 P(C) y P(B) = 3⁄5 P(C). Encuentre P(C).
Solución:
Como A, B y C son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos,
P(A) + P(B) + P(C) = 1.
⇒ 4⁄5 P(C) + 3⁄5 P(C) + P(C) = 12⁄5 P(C) = 1 o,P(C) = 5⁄12.
Problema 4: ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra o un diez en una baraja de cartas?
Solución:
Hay 4 decenas en una baraja de cartas P(10) = 4/52
Hay 26 cartas negras P(negras) = 26/52
Hay 2 decenas negras P(negras y 10) = 2/52
P(negro o diez) = 4/52+26/52−2/52
=30/52−2/52
=28/52
=7/13
Problema 5: Tres eventos A, B y C son mutuamente excluyentes, exhaustivos e igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad del evento complementario de A?
Solución:
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, tenemos
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) —— (1)
Como son exhaustivos,
P(AUBUC) = 1 —— (2)
Como son eventos igualmente probables,
P(A) = P(B) = P(C) = K, digamos —— (3)
Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos
1 = K + K + K
1 = 3K
1/3 = k
Así P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
Por lo tanto, P(A’) = 1 – P(A)
P(A’) = 1 – 1/3
P(A’) = 2/3.
Problema 6: Las probabilidades a favor de un evento son 4:3. y Las probabilidades contra otro evento independiente son 2:3. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los eventos ocurra?
Solución:
Suponga que los eventos dados son A y B
Entonces por el problema, probabilidad de ocurrencia de A = P(A) = 4/(4+3)=4/7
Y probabilidad de ocurrencia de B = P(B) = 3/(2+3)=3/5
Por lo tanto, la probabilidad de ocurrencia de al menos uno de los eventos A y B
= P(A⋃B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)
= P(A) + P(B) – P(A).P(B)= 4/7+3/5−(4/7.3/5)
=(20+21−12)/35
=29/35
Problema 7: Dado que los eventos A y B son tales que P(A) = 1/2, P (A ∪ B) = 3/5 y P(B) = p. Encuentre p si son
(i) mutuamente excluyentes
(ii) independiente
Solución:
Dado, P(A) = 1/2 ,
PAG (A ∪ B) = 3/5
y P(B) = p.
(i) Para Exclusión Mutua:
Dado que los conjuntos A y B son mutuamente excluyentes.
Por lo tanto, no tienen ningún elemento común.
Por lo tanto, P(A ∩ B) = 0
Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Sustituyendo las fórmulas en la fórmula anterior, obtenemos
3/5 = (1/2) + p – 0
Simplificando la expresión, obtenemos
(3/5) – (1/2) = p
(6 − 5)/10 = pag
1/10 = pag
Por lo tanto, p = 1/10
Por tanto, el valor de p es 1/10, si son mutuamente excluyentes.
(ii) Para eventos independientes:
Si los dos eventos A y B son independientes,
podemos escribirlo como P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Sustituye los valores,= (1/2) × p
= p/2
Ahora, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Ahora, sustituya los valores en la fórmula,
(3/5) = (1/2)+ p – (p/2)
(3/2)– (1/2)= p – (p/2)
(6 − 5)/10 = p/2
1/10 = p/2
p= 2/10
P = 1/5
Así, el valor de p es 1/5, si son independientes.
Problema 8: La probabilidad de que las personas A y B resuelvan el problema específico de forma independiente son 1/2 y 1/3 respectivamente. En caso de que ambas personas intenten resolver el problema de forma independiente, calcule la probabilidad de que el problema se resuelva.
Solución:
Dado eso, los dos eventos dicen que A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A). P(B)
De los datos dados, podemos observar que P(A) = 1/2 & P(B) = 1/3
La probabilidad de que el problema se resuelva = (probabilidad de que la persona A resuelva el problema) o (probabilidad de que la persona B resuelva el problema)
Esto se puede escribir como:
= P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si A y B son independientes, entonces P(A ∩ B) = P(A). P(B)
Ahora, sustituya los valores,
= (1/2) × (1/3)
PAG(A ∩ B) = 1/6
Ahora, la probabilidad de resolver el problema se escribe como
P(El problema está resuelto) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= (1/2) + (1/3) – (1/6)
= (3/6) + (2/6) – (1/6)
= 4/6
= 2/3
Por lo tanto, la probabilidad de que el problema se resuelva es 2/3.