Los números complejos son la combinación de valores reales e imaginarios. Se expresan en forma de x + iy donde x e y son números reales e i es la parte imaginaria también llamada iota. A menudo se representa por z. El valor ‘x’ se denomina parte real, denotada por Re(z) y el valor ‘y’ se denomina parte imaginaria, denotada por Im(z). Los números complejos se trazan en un plano llamado plano de Argand o plano complejo donde el eje x es el eje real y el eje y es el eje imaginario.
números reales e imaginarios
Los Números Reales son aquellos cuyo cuadrado da un resultado positivo. Pueden ser positivos, negativos, etc. Se representa por Re(). Los números imaginarios son aquellos números cuyo cuadrado da un valor negativo. Se denotan por Im(). Los números imaginarios son de la forma ‘bi’ donde i es la iota yb es el número real.
Ejemplo: z = 1 + 2i. Aquí, en el ejemplo anterior, tiene la forma a + ib donde a = 1 yb = 2, que son números reales.
- Re(z) = 1
- im(z) = 2
Más sobre iota
Un número imaginario se denota por iota ‘i’. Se utiliza para encontrar la raíz cuadrada de números negativos. Valor de i = √(-1). Si se realiza la operación al cuadrado de i,
yo 2 = yo × yo = -1
yo 4 = 1
Operaciones con números complejos
En números complejos, puede realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y conjugaciones. Las operaciones se realizan por separado para valores reales y valores imaginarios.
- Adición : La suma de números complejos se realiza sumando las partes reales y las partes imaginarias por separado. Supongamos dos números complejos x + ib y c + id. Por lo tanto obtenemos
x + ib + c + id = (x + c) + i(b + d)
- Resta : La resta de números complejos se realiza restando las partes real e imaginaria por separado. Supongamos dos números complejos a + ib y c + id.
a + ib – (c + id ) = (a – c) + i(b – d)
- Multiplicación : cuando dos números complejos dicen que z 1 y z 2 se multiplican, la parte real de z 1 se multiplica con las partes real e imaginaria de z 2 y, de manera similar, también se hace para la parte imaginaria. Supongamos dos números complejos a + ib y c + id.
(a + ib) × (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)
- Conjugado : Tomemos un número complejo z. El conjugado se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo que significa cambiar de + a – y – a +. Supongamos un número complejo a + ib.
conjugado(a + ib) = (a – ib)
- División : Cuando se realiza la división de dos números complejos z 1 y z 2 multiplicamos el denominador z 2 por su conjugado y realizamos la división. Supongamos dos números complejos a + ib y c + id.
(a + ib)/(c + id) = {(a + ib) (c – id)}/(c² + d²)
Módulo y argumento de un número complejo
El módulo de un número complejo está representado por |z| o ‘r’ que es la distancia del punto z al origen en el plano de Argand o plano complejo. El valor numérico de z = x + yi viene dado por 
. El argumento de z a menudo representado por arg(z) es el ángulo que forma la línea que une z y el origen con la dirección positiva del eje real.
Arg(z) = Arg(x + iy) = tan -1 (y/x)
Por ejemplo, para encontrar el módulo y el argumento de 1 + 2i
Sea z = 1 + 2i
Módulo de z = 
= √5
Aquí, y = 2, x = 1
Arg(z) = bronceado -1 (2/1)
La propiedad del argumento es Arg(z n ) = n Arg(z)
Expresar número complejo en forma polar
Los números complejos se pueden expresar en forma polar y, por lo tanto, se pueden trazar en un plano complejo con el eje x como eje real y el eje y como eje imaginario.
Sea x + iy un número complejo. Por lo tanto x = r cosθ, y = rsenθ, r = 
z = r(cosθ + isinθ)
Teorema de De Moivre
Este teorema es uno de los teoremas más útiles ya que ayuda a establecer una relación entre la trigonometría y los números complejos. Ayuda a calcular el valor de números complejos en forma polar hasta n veces. El teorema establece que para cualquier número real x,
(cosx + isenx) n = cos(nx) + isen(nx)
Donde n es un entero positivo e i es la parte imaginaria.
¿Cómo usar el teorema de De Moivre para simplificar (-2 + 2i) 8 ?
Solución:
Sea z = -2 + 2i
Arg(z) = bronceado -1 (2/-2) = 3π/4
Valor absoluto =
= 2√2
Aplicando el teorema de De Moivre,
z 8 = [2√2{cos(3π/4) + isen(3π/4)}] 8
= (2√2) 8 [cos(24π/4) + isen(24π/4)]
= 4096(cos 6π + i sen 6π)
= 4096 (1 + 0i)
= 4096 (1)
= 4096
Problemas similares
Pregunta 1: Escribe la fórmula para z n donde z = r(cos x + isen x)
Solución:
z n = [r(cos x + isen x)] n
Usando la fórmula de De Moivre,
z n = r n [cos nx + isen nx]
Pregunta 2: Sea z = 2[cos (π/6) + isin (π/6)] encuentre z 3
Solución:
norte = 3
Usando la fórmula de De Moivre,
z 3 = (2[ cos π/6 + isen π/6]) 3
= 2 3 [ cos 3π/6 + isen 3π/6]
= 8 [cos π/2 + isen π/2]
= 8(0 + yo)
= 8i
Pregunta 3: Encuentra el valor de (1 + i) 2 usando la fórmula de De Moivre.
Solución:
Sea z = 1 + i
Arg(z) = tan -1 (1) = π/4
|z| =
= √2
Entonces, z = √2(cos π/4 + i sen π/4)
z 2 = (√2(cos π/4 + i sen π/4)) 2
= (√2) 2 [cos 2π/4 + i sen π/4]
= 2 [cos π/2 + i sen π/2]
= 2[0 + yo]
= 2i
Pregunta 4: Encuentra el valor de (√3 + i) 4 .
Solución:
|z| =
= 2
Arg(z) = π/6
z 4 = [2( cos π/6 + i sen π/6)] 4
Usando la fórmula de De Moivre,
z 4 = 16(cos 4π/6 + i sen 4π/6)
= 16(cos 2π/3 + i sen 2π/3)
= 16(cos (π – π/3) + i sen (π – π/3))
= 16(-cos (π/3) + i sen (π/3))
= 16(-1/2 + i√3/2)
= 8(-1 + i√3)
Pregunta 5: Escriba la fórmula del teorema de De Moivre para z 1000 donde z = r(cos θ + isin θ)
Solución:
z 1000 = r 1000 (cos θ + isen θ) 1000
= r 1000 (cos 1000 θ + isen × 1000 × θ)