¿Cómo usar el teorema de DeMoivre para simplificar (1 + √3i)6?

Los números complejos son los números de la forma a + ib, tales que a y b son números reales y i (iota) es el componente imaginario y representa √(-1), comúnmente representado en su forma rectangular o estándar. Por ejemplo, 10 + 5i es un número complejo donde 10 es la parte real y 5i es la parte imaginaria. Estos pueden ser puramente reales o puramente imaginarios dependiendo de los valores de a y b. Si a = 0 en a + ib, entonces ib es un número puramente imaginario, y si b = 0, entonces tenemos a, que es un número puramente real.

Módulo y forma polar de números complejos

La raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria de un número complejo se denomina módulo. El módulo se representa como mod(z) o |z| o |x + iy| y se define para un número complejo z = a + ib como,

mod(z) o |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$

Aquí, las coordenadas polares de las partes real e imaginaria se escriben para representar un número complejo. El ángulo en el que la recta numérica se inclina con respecto al eje real, es decir, el eje x, está representado por θ. La longitud representada por la línea se llama módulo y se representa con el alfabeto r. La siguiente figura muestra a y b como los componentes real e imaginario respectivamente y OP = r es el módulo.

Para un número complejo de la forma z = p + iq, su forma polar se escribe de la siguiente manera,

r = Módulo[cos(argumento) + isen(argumento)]

O, z = r[cosθ + isinθ]

Aquí, r = $\sqrt{p^2+q^2}$ y θ = tan ^-1 {q/p}.

¿Cómo usar el teorema de DeMoivre para simplificar (1 + √3i) ⁶ ?

Solución:

Para expandir un número complejo según su exponente dado, primero debe convertirse a su forma polar, que usa su módulo y argumento como sus constituyentes. Luego, se aplica el teorema de DeMoivre, que establece lo siguiente,

Fórmula de De Moivre: para todos los valores reales de, por ejemplo, un número x,

(cos x + isinx) ⁿ = cos(nx) + isin(nx), donde n es cualquier número entero.

Número dado: (1 + √3i) ⁶

Módulo de (1 + √3i) ⁶ = $\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}$ = 2

Argumento = tan ^-1 (√3/1) = tan ^-1 (√3) = π/3

⇒ Forma polar = $2[cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3})]$

Ahora, (1 + √3i) ⁶ = $[2(cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3}))]^6$

Según el teorema de DeMoivre, (cos x + i senx) ⁿ = cos(nx) + i sen(nx).

⇒ $[2(cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3}))]^6$ = $2^6(cos(\frac{6\pi}{3})+i\ sin(\frac{6\pi}{3}))$

= 64 (cos 2π + i sen 2π)

= 64(1 + 0)

= 64

Por lo tanto, (1 + √3i) ⁶ = 64

Problemas similares

Pregunta 1: Expande: (1 + i) ⁵ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{(1^2+1^2)}$ = $\sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (1 + i) = $[\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Así, (1 + i) ⁵ = $[\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))]^5$

= $(\sqrt{2})^{5}[cos(\frac{5\pi}{4})+i\ sin(\frac{5\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[cos(\pi+\frac{\pi}{4})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[-cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]\\ =(\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{2})^{4}i$

= -4 – 4i

Por lo tanto, (1 + i) ⁵ = -4 – 4i.

Pregunta 2: Desarrolla: (2 + 2i) ⁶ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{(2^2+2^2)} = 2\sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (2 + 2i) = $[2\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))]^5\\ =(2\sqrt{2})^{5}[cos(\pi+\frac{\pi}{4})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{2})^{5}[-cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{2})^{5}[-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]\\ =(2\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{2})^{4}i$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Así, (2 + 2i) ⁶ = $[2\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$

= $(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{6\pi}{4})+i\ sin(\frac{6\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{3\pi}{2})+i\ sin(\frac{3\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\pi+\frac{\pi}{2})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{\pi}{2})-i\ sin(\frac{\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[0-i]\\ =-(2\sqrt{2})^{6}i$

= 512 (-yo)

Por lo tanto, (2 + 2i) ⁶ = −512i.

Pregunta 3: Desarrolla: (1 + i) ¹⁸ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{(1^2+1^2)} = \sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (1+i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Así, (1 + i) ¹⁸ = $[\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))]^{18}$

= $(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{18\pi}{4})+i\ sin(\frac{18\pi}{4})]^{18}\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{9\pi}{2})+i\ sin(\frac{9\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(4\pi+\frac{\pi}{2})+i\ sin(4\pi+\frac{\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{\pi}{2})+i\ sin(\frac{\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[0+i]\\ =(\sqrt{2})^{18}i$

= 512i

Por lo tanto, (1 + i) ¹⁸ = 512i.

Pregunta 4: Expande: (-√3 + 3i) ³¹ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{((-\sqrt{3})^2+3^2)} = 2\sqrt{3}$ , θ = π/4

La forma polar de (-√3 + 3i) = $[2\sqrt{3}(cos(\frac{2\pi}{3})+i\ sin(\frac{2\pi}{3}))]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Así, (-√3 + 3i) ³¹ = $[2\sqrt{3}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))]^{31} = (2\sqrt{3})^{31}[cos(\frac{31\pi}{4})+i\ sin(\frac{31\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[cos(8\pi-\frac{\pi}{4})+i\ sin(8\pi-\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]$

Por lo tanto, (-√3 + 3i) ³¹ = $(2\sqrt{3})^{31}[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]$

Pregunta 5: Ampliar: (1 – i) ¹⁰ .

Solución:

r = $\sqrt{(1^2+(-1)^2)} = \sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (1 – i) = $\sqrt{2}[cos(\frac{\pi}{4})+i \ sin(\frac{\pi}{4})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Así, (1 – i) ¹⁰ = $[\sqrt{2}(cos(\frac{π}{4})+ i sin(\frac{π}{4}))]^{10}\\ = (\sqrt2)^{10}[cos(\frac{10π}{4})+i\ sin(\frac{10π}{4})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(\frac{5π}{2})+i\ sin(\frac{5π}{2})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(2\pi+\frac{π}{2})+i\ sin(2\pi+\frac{π}{2})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(\frac{π}{2})-i\ sin(\frac{π}{2})]\\$

= 32 [0 – yo(1)]

= 32 (-yo)

Por lo tanto, (1 – i) ¹⁰ = 0 – 32i.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por parmaramolaksingh1955 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Módulo y forma polar de números complejos

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