Complejo conjugado

Un número complejo es un número representado en la forma de (x + i y); donde x & y son números reales, y i = √(-1) se llama iota (una unidad imaginaria). También se les conoce como números o cantidades imaginarias . Un número complejo puede ser puramente real o puramente imaginario dependiendo de los valores de x e y.

Ejemplos: 

(5 + 3 i), (0 + 7 i), (-4 + 9 i), (1 + 0 i), (0 – i), etc.

Ahora discutiremos dos conceptos muy importantes de números complejos que son Conjugado y Módulo.

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo es otro número complejo cuyas partes reales Re(z) son iguales y las partes imaginarias Im(z) son iguales en magnitud pero de signo opuesto. A veces, el conjugado de un número complejo también se llama conjugado complejo. El conjugado de un número complejo z está representado por   y (z &  ) juntos conocidos como pares complejos conjugados porque z y   son conjugados entre sí. Si z = (x + iy) es un número complejo, entonces el conjugado de z se define como    = (x – iy). De la relación entre z y  , podemos decir que el conjugado de un complejo se obtiene reemplazando i con (-i). El significado geométrico de conjugado de un número complejo   es el reflejo o imagen especular del número complejo z sobre el eje real (eje X) en el plano complejo o plano argand.

Propiedades del Conjugado

Si z, z ₁ y z ₂ son números complejos, tendrán las siguientes propiedades conjugadas.

1. El conjugado de un número complejo puramente real es el propio número (z =  ), es decir, el conjugado de (7 + 0 i) = (7 – 0 i) = 7
2. El conjugado de un número complejo puramente imaginario es negativo de ese número (z +   = 0), es decir, el conjugado de (0 -7 i) = (0 + 7 i) = 7 i
3.  = z
4. z +   = 2 Re(z)
5. z –   = 2 yo . soy (z)
6. z   = {Re(z)} ² + {Im(z)} ²
7.  = 
8.  = 
9.  =  
10. z = (z ₁ / z ₂ ) entonces   =   /   ; z ₂ ≠ 0

Nota: Para encontrar el conjugado de un número complejo, ese número complejo debe estar en su forma estándar, que es Z = (x + iy). Si el número complejo no está en su forma estándar, debe convertirse a su forma estándar antes de encontrar su conjugado complejo.

Ejemplos

Ejemplo 1: Si z = (5 + 7 i) es un número complejo entonces su conjugado viene dado por

Solución:

 = (5 – 7 i).

Ejemplo 2: Si z = 1 / (4 + 3 i) es un número complejo entonces su conjugado viene dado por

Solución:

Primero, z debe convertirse a su forma estándar multiplicando el numerador y

denominador con el conjugado de (4 + 3 i)

z = (1 / (4 + 3 i)) × ((4 – 3 i) / (4 – 3 i))

z = (4 – 3 i) / (16 + 9)

z = (4/25) – (3/25) yo

El conjugado de z es   = (4/25) + (3/25) i

Ejemplo 3: Si (a + ib) es un número complejo que es el complejo conjugado de (8 – 3 i), entonces los valores de a y b vienen dados por

Solución:

Sea z = a + ib

 = (8 + 3i)

z = 

z = (8 + 3 yo)

Dos números complejos son iguales solo cuando sus partes reales e imaginarias correspondientes son iguales

Igualando las partes real e imaginaria de z & (8 + 3 i)

Re(z) = a = 8 

Im(z) = b = 3

Por lo tanto, 8 y 3 son los valores respectivos de a y b.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo z = (x + iy) se define como |z| = √(x2 ⁺ y2 ⁾ ; donde x = Re(z) y y = Im(z). |z| ≥ 0 para todos los números complejos. No podemos comparar dos números complejos z ₁ y z ₂ ie (z ₁ > z ₂ ) o (z ₁ < z ₂ ) no tiene significado pero (|z ₁ | > |z ₂ |) o (|z ₁ | < | z ₂ |) tiene un significado definido porque |z ₁ | & |z ₂| son números reales. El significado geométrico del módulo de un número complejo (x + iy) es la distancia del punto P (x, y) desde el origen O (0, 0) en el plano complejo o plano argand, es decir, |z| =   = √((x – 0) ² + (y – 0) ² ) = √(x ² + y ² ).

Propiedades del Módulo

Si z, z ₁ , z ₂ y z _n son números complejos, tendrán las siguientes propiedades de módulo.

1. Si un número complejo z tiene partes reales e imaginarias iguales, entonces su módulo es cero, es decir, Re(z) = Im(z) ⇒ |z| = 0
2. La parte real e imaginaria de un número complejo z siempre se encuentra entre -|z| y |z| es decir -|z| ≤ Re(z) ≤ |z| y -|z| ≤ Im(z) ≤ |z|
3. |z| = | | = |-z|
4.  = |z| ²
5. |Z₁ . Z₂ …….. _Zn | = |Z₁| . |Z₂| …….. |Z _n |
6. |Z₁ / Z₂| = |Z₁| / |Z₂| ; Z₂ ≠ 0
7. |Z₁ + Z₂| ² = |Z₁| ² + |Z₂| ² + 2 re( )
8. |Z₁ – Z₂| ² = |Z₁| ² + |Z₂| ² – 2 Re( )
9. |Z₁ + Z₂| ² + |Z₁ – Z₂| ² = 2( |Z₁| ² + |Z₂| ² )
10. |b. Z₁ + a. Z₂| ² + |a. Z₁ – b. Z₂| ² = (a ² + b ² ) ( |Z₁| ² + |Z₂| ² ) ; aquí a y b son números reales.

Nota: Para averiguar el módulo de un número complejo, ese número complejo debe estar en su forma estándar, que es Z = (x + iy). Si el número complejo no está en su forma estándar, debe convertirse a su forma estándar antes de encontrar su módulo.

Ejemplos

Ejemplo 1: Si (8 + 3 i) es un número complejo entonces su módulo viene dado por

Solución:

|8 + 3 i| = √(8 ² + 3 ² ) 

|8 + 3 i| = √(64 + 9)

|8 + 3 i| = √(73)

Ejemplo 2: Si (3 + 4 i) y (√3 + √6 i) son dos números complejos, entonces el módulo de su producto viene dado por el producto de su módulo individual.

Solución:

|3 + 4 i| = √(3 ² + 4 ² )

|3 + 4 i| = √(9 + 16)

|3 + 4 i| = √(25) = 5

|√3 + √6 i| = √((√3) ² + (√6) ² )

|√3 + √6 i| = √(3 + 6) 

|√3 + √6 i| = √9 =3

|(3 + 4 i).(√3 + √6 i)| = 5 × 3

|(3 + 4 i).(√3 + √6 i)| = 15

Ejemplo 3: Si z = (2 . i) / (3 – 4 i) es un número complejo entonces su módulo viene dado por

Solución:

Primero, z debe convertirse a su forma estándar multiplicando el numerador y

denominador con el conjugado de (3 – 4 i)

z = ((2.i) / (3 – 4 i)) × ((3 + 4 i) / (3 + 4 i))

z = (8 + 6 i) / (9 + 16)

z = (8 + 6 yo) / 25

z = (8/25) + (6/25) yo

El módulo de z es |z| = √((8 / 25) ² + (6 / 25) ² )

|z| = √((64 + 36) /625)

|z| = √(100 /625)

|z| = 10 / 25

|z| = 2 / 5