Un método para convertir una fórmula cuadrática de la forma ax 2 + bx + c a la forma de vértice a(x – h) 2 + k se conoce como completar el cuadrado. La aplicación más típica de completar el cuadrado es resolver un problema cuadrático. Esto se puede lograr reorganizando la expresión a(x + m) 2 + n obtenida después de completar el cuadrado, de modo que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto. Completar el enfoque cuadrado es beneficioso en las siguientes situaciones:
- Convertir una expresión cuadrática a su forma de vértice.
- Cálculo del valor mínimo/máximo de la fórmula cuadrática
- Se grafica una función cuadrática.
- Una ecuación cuadrática debe ser resuelta.
- Se deriva la fórmula cuadrática.
¿Qué es Completar el Método Cuadrado?
La aplicación más común del enfoque de completar el cuadrado es factorizar una ecuación cuadrática y, por lo tanto, determinar las raíces y los ceros de un polinomio cuadrático o una ecuación cuadrática. El enfoque de factorización se puede usar para resolver una ecuación cuadrática del tipo ax 2 + bx + c = 0. Sin embargo, factorizar la fórmula cuadrática ax 2 + bx + c a veces es difícil o imposible.
Por ejemplo en el caso:
No podemos factorizar x 2 + 2x + 3 porque no podemos encontrar dos números cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 3. En tales circunstancias, completamos el cuadrado y lo escribimos como a(x + m) 2 + n . A esto lo llamamos “completar el cuadrado” porque tenemos (x + m) completo al cuadrado.
Fórmula para completar el cuadrado
Una metodología o enfoque para convertir un polinomio cuadrático o una ecuación en un cuadrado perfecto con una constante adicional se conoce como fórmula del cuadrado. Usando la fórmula o enfoque de completar el cuadrado, una expresión cuadrática en la variable x: ax 2 + bx + c, donde a, b y c son valores reales excepto un 0, se puede convertir en un cuadrado perfecto usando una constante adicional.
Completar la fórmula del cuadrado es una metodología o procedimiento para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas específicas, como ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son todos valores reales excepto a.
hacha 2 + bx + c
donde a(x + m) 2 + n es la fórmula para completar el cuadrado.
donde n parece ser una constante y m podría ser cualquier número real.
En lugar de un largo enfoque paso a paso, podemos usar la siguiente fórmula simple para construir el cuadrado. Encuentra lo siguiente para completar el cuadrado en la frase ax 2 + bx + c:
n = c – (b 2 /4a) y m = b/2a
Valores sustituidos en ax 2 + bx + c = a(x + m)2 + n. Estas fórmulas están desarrolladas geométricamente.
Pasos para completar el método del cuadrado
Supongamos que la ecuación cuadrática es como ax 2 + bx + c = 0. Siga los pasos para resolverla usando el método de completar el cuadrado.
Paso 1: Forma la ecuación de tal manera que c esté en el lado derecho.
Paso 2: Divida toda la ecuación por an si an no es igual a 1, de modo que el coeficiente de x 2 sea igual a 1.
Paso 3: En ambos lados, sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término-x, (b/2a) 2 .
Paso 4: factoriza el lado izquierdo de la ecuación como el cuadrado del término binomial.
Paso 5: En ambos lados, saque la raíz cuadrada.
Paso 6: encuentre las raíces resolviendo para la variable x.
Los pasos descritos anteriormente se pueden llevar a cabo como se ilustra a continuación.
Eche un vistazo a la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 ( a no es igual a 0 ).
Dividiendo todo por a, obtenemos
x2 + (b/a)x + (c/a) = 0
Esto se puede escribir alternativamente como (b/2a) 2 (sumando y restando)
[x + (b/2a)] 2 – (b/2a) 2 + (c/a) = 0
[x + (b/2a)] 2 – [(b 2 – 4ac)/4a 2 ] = 0
[x + (b/2a)] 2 = [(b 2 – 4ac)/4a 2 ]
Si b2 – 4ac ≥ 0, sacando la raíz cuadrada, obtenemos
x + (b/2a) = ± √(b 2 – 4ac)/ 2a
La fórmula cuadrática se obtiene simplificando esto aún más.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática de x 2 + 2x – 12 = 0 usando el método de completar el cuadrado.
Responder:
Dada la ecuación cuadrática es x 2 + 2x – 12 = 0
Entonces, al comparar la ecuación junto con la forma estándar,
donde b = 2 y c = -12
entonces (x + b/2) 2 = -(c – b 2 /4)
sustituyendo los valores obtenemos
(x + 2/2) 2 = -(-12 – (2 2/4 ) )
(x + 1) 2 = 12 + 1
(x + 1) 2 = 13
x + 1 = ± √13
x + 1 = ± 3,6
Entonces, x + 1 = +3.6 y x+1 = – 3.6
x = 2,6 , -4,6
Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son 2,6, -4,6.
Pregunta 2: Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática de 2x 2 – 4x – 20 = 0 usando el método de completar el cuadrado.
Responder:
Dada la ecuación cuadrática es 2x 2 – 4x – 20 = 0
La ecuación proporcionada no tiene la forma en que se usa el método de completar cuadrados, es decir, el coeficiente x2 no es 1. Para convertirlo en uno, divida la ecuación completa por 2 .
entonces x 2 – 2x – 10 = 0
Entonces, al comparar la ecuación junto con la forma estándar,
donde b = – 2, y c = -10
entonces (x + b/2) 2 = -(c – b 2 /4)
sustituyendo los valores obtenemos
(x + (-2/2) ) 2 = -( -10 – (2 2/4 ) )
(x-1) 2 = 11
x – 1 = ± √11
x – 1 = ± 3,3
Entonces, x – 1 = + 3.3 y x -1 = -3.3
x = 4,3, -2,3
Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son 4.3, -2.3.
Pregunta 3: Resuelve usando la fórmula de completar el cuadrado para 3x 2 – 9x – 27 = 0.
Responder:
La ecuación cuadrática dada es 3x 2 – 9x – 27 = 0.
podemos escribirlo como x 2 – 3x -9 =0
Entonces, al comparar la ecuación junto con la forma estándar,
donde b = – 3, y c = -9
entonces (x + b/2) 2 = -(c – b 2 /4)
sustituyendo los valores obtenemos
(x + (-3/2) ) 2 = -( -9 – (3 2/4 ) )
(x – 1,5) 2 = 11,25
x – 1,5 = ± √11,25
x – 1,5 = ± 3,35
Entonces, x – 1.5 = + 11.25 y x -1 = -11.25
x = 12,75, -10,25
Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son 12,75, -10,25 .
Pregunta 4: Encuentre el número que debe agregarse a x 2 – 4x para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto usando la fórmula para completar el cuadrado.
Responder:
La expresión dada es x 2 -4x
Como Comparando la expresión dada junto con ax 2 + bx + c,
a = 1 ; b = -4
El término que debe agregarse para hacer que la expresión anterior sea un trinomio cuadrado perfecto usando la fórmula es,
(b/2a) 2 = (-4/2(1) ) 2
(b/2a) 2 = 4
Por lo tanto, el número que debe agregarse a x 2 – 4x para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto es 4 .
Pregunta 5: Encuentra el número que se debe sumar a x 2 + 22x para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto usando la fórmula de completar el cuadrado.
Responder:
La expresión dada es x 2 + 22x
Como Comparando la expresión dada junto con ax 2 + bx + c,
a = 1 ; b = 22
El término que debe agregarse para hacer que la expresión anterior sea un trinomio cuadrado perfecto usando la fórmula es,
(b/2a) 2 = ( 22/2(1) ) 2
(b/2a) 2 = 121
Por lo tanto, el número que debe sumarse a x 2 + 22x para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto es 121 .