Composición de Funciones

Las funciones son como cajas o máquinas que toman alguna entrada, la procesan y desechan la salida. Por lo general, toman la entrada en algún formato numérico y dan una salida. Las funciones son muy importantes y se utilizan con mucha frecuencia en el campo de las matemáticas. Nos permiten definir algún procesamiento matemático en un cuadro y luego usar ese cuadro donde queramos sin pensar en los cálculos una y otra vez. De esta manera, simplifican nuestro proceso de cálculo y pensamiento para construir cosas complejas. 

Funciones

La función se puede definir como una regla que opera en algún número matemático para darnos una salida. Sin embargo, no es necesario que toda regla que opere sobre algunos números para dar algún resultado se pueda poner en la categoría de funciones. Hay ciertas condiciones que la regla debe cumplir para ser llamada función. 

Una función es una regla que asigna un número de entrada a otro número que se llama salida de la función. 

Por ejemplo, f(x) = x + 3 puede considerarse una función, toma una entrada, la incrementa en 3 y da la salida. El número “x” se llama argumento de la función. Cuando el argumento se elige como x = 2, la función da una salida de 5. 

Parece que cualquier número puede ser elegido como argumento, pero ese no es el caso. Nos centraremos en ese caso más adelante. 

Gráfica de una función 

El gráfico de la función se puede trazar tomando diferentes valores de entrada y encontrando la salida de la función sobre ellos. Consideremos una función 

f(x) = ^x2

f(-2) = 4, f(-1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1 y f(2) = 4. Ahora representemos estos valores en un gráfico. 

Dominio y rango de una función 

Una función no puede tener un valor de entrada dando dos salidas. Esto viola la definición de una función. Hay ciertos valores que se pueden dar como entrada a la función y la función da salidas correspondientes. Al decidir qué valores son válidos como entrada, debemos tener en cuenta que en cualquiera de las entradas, la función no debe volverse indefinida ni dar números imaginarios en la salida. 

Dominio: Conjunto de todas las entradas posibles a la función. 

Rango : Conjunto de salidas correspondientes por la función. 

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 

Ahora se sabe que las raíces cuadradas no pueden tomar cero como entrada. Por lo tanto, el dominio de la función son todos los valores reales excepto cero, es decir , R – {0} . La salida de la función puede ser cualquier cosa, por lo que el rango son todos los números reales, es decir ,  R.

Composición de Funciones

Las funciones complicadas se pueden construir a partir de funciones aparentemente simples, utilizando el proceso de composición. En este proceso, la salida de una función se da como entrada a otra función. Considere dos funciones, f y g. Una composición de estas dos funciones puede ser, 

g(f(x)) = gof(x)

Esto significa que la entrada se le da a f(x) y su salida se le da como entrada a g(x). Otra forma de composición puede ser, 

f(g(x)) = niebla(x) 

En el caso, f(x) = x ² y g(x) = x + 3. La composición g(f(x)) será, 

g(f(x)) = g(x ² ) = x ² + 3

Del mismo modo, f(g(x)) = f(x + 3)= (x + 3) ²

Observe que g(f(x)) no es igual a f(g(x)). La composición de la función también se llama función de una función. 

Dominio y Rango de composición de funciones

No es posible componer dos funciones, algunas funciones no se pueden componer juntas, por ejemplo, digamos f(x) = ln(x) y g(x) = -x ² . Si tratamos de componer f(g(x)), no es posible ya que la función logarítmica no puede tomar valores de entrada negativos, por lo que f(g(x)) no es posible. Por lo tanto, hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta al decidir sobre la composición de la función.

En otro caso, digamos f(x) = √x y g(x) = log(x). En este caso, el dominio de f(x) son los números reales positivos. Entonces, en el caso, f(g(x)) necesitamos asegurarnos de que log(x) no dé valores negativos como salidas. Entonces, el rango de f(x) debería estar dentro del dominio de g(x). 

Para algún par de funciones, no es posible hacer una función compuesta de ellas. Para otros pares, los dominios se pueden modificar. En tales casos, se deben tener en cuenta las siguientes cosas: 

1. En el caso de f(g(x)), el rango de g(x) debe estar dentro del dominio de f(x).
2. El dominio de g(x) debe modificarse de modo que el rango de g(x) quede dentro del dominio de f(x).

El dominio de la función compuesta es el mismo que el dominio de la primera función o se encuentra dentro de ella. El rango de la función compuesta es el mismo que el rango de la segunda función o se encuentra dentro de él. 

Veamos algunos problemas con estos conceptos. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Para las funciones dadas f(x) = e ^x y g(x) = x ² + 1. Encuentra los valores de f(g(x) y g(f(x)). 

Solución: 

El dominio de ambas funciones son números reales, por lo que no es necesario modificar el dominio de la primera función en ningún caso. 

niebla(x) 

f(g(x)) 

⇒ f(x ² + 1) 

⇒ 

gof(x) 

g(f(x)) 

⇒g( ^ex ) 

⇒(e ^x ) ² + 1

⇒ mi ^2x + 1

Pregunta 2: Para las funciones dadas f(x) = x ³ y g(x) = x ² + 1. Encuentra los valores de f(g(x) y g(f(x)). 

Solución: 

El dominio de ambas funciones son números reales, por lo que no es necesario modificar el dominio de la primera función en ningún caso. 

niebla(x) 

f(g(x)) 

⇒ f(x ² + 1) 

^⇒ (x2 +1) ³

gof(x) 

g(f(x)) 

⇒g(x ³ ) 

⇒(x ³ ) ² + 1

⇒x6 + ¹

Pregunta 3: Para las funciones dadas f(x) = 2x y g(x) = x ² + 1. Encuentra los valores de f(g(x) y g(f(x)) en x = 2. 

Solución: 

El dominio de ambas funciones son números reales, por lo que no es necesario modificar el dominio de la primera función en ningún caso. 

niebla(x) 

f(g(x)) 

⇒ f(x ² + 1) 

⇒ 2(x2 ⁺ 1) 

En x = 2 

f(g(x)) = 2(4 + 1) 

⇒f(g(x)) = 10

gof(x) 

g(f(x)) 

⇒g(2x) 

⇒(2x) ² + 1

⇒ 4x ⁴ + 1

En x = 2 

⇒ 4(2 ⁴ ) + 1

⇒ 4(16) + 1 

⇒ 65

Pregunta 4: Para las funciones dadas f(x) = sin(x) y g(x) = x ² . Averigüe el dominio y el rango de fog(x) y gof(x).

Solución: 

f(x) tiene dominio como todos los números reales y rango [-1,1]. Mientras que g(x) tiene dominio todos los números reales y rango R ⁺ . 

niebla(x) 

El dominio son todos los números reales, el rango también son todos los números reales 

gof(x). 

El dominio son todos los números reales, el rango está entre 0 y 1. 

Pregunta 5: Para las funciones dadas f(x) = √x y g(x) = 3x. Averigüe el dominio y el rango de fog(x) y gof(x).

Solución: 

f(x) tiene dominio como todos los números reales positivos y el rango son todos los números reales. Mientras que g(x) tiene dominio todos los números reales y rango R ⁺ . 

niebla(x) 

El dominio son los números reales positivos porque la salida de g(x) no debe ser negativa. El rango son todos los números reales. 

gof(x). 

El dominio son todos los números reales, el rango son todos los números reales.

Pregunta 6: Para las funciones dadas f(x) = log(x) y g(x) = x + 1. Encuentra los valores de f(g(x) y g(f(x)). 

Solución: 

El dominio de ambos f(x) son todos los números positivos, es decir, R ⁺ y el rango son todos los números reales. El dominio y el rango de g(x) son todos los números reales. 

f(g(x))

Al hacer esto, se debe tener en cuenta el dominio de f(x). La salida de g(x) siempre debe ser positiva. 

x + 1 > 0 

⇒ x > -1. Entonces, el dominio es (-1, ∞)

f(g(x)) 

⇒ f(x + 1) 

⇒ registro(x + 1) 

El rango son todos los números reales. 

gof(x) 

g(f(x)) 

⇒g(registro(x)) 

⇒log(x) + 1

El dominio es R ⁺ y el rango son todos los números reales.