Cuadrados y raíces cuadradas

Los cuadrados de los números son los valores que se obtienen al multiplicar el número por sí mismo. El comportamiento de las raíces cuadradas y cuadradas es opuesto, es decir; sus definiciones son viceversa entre sí. Por lo tanto, la raíz cuadrada, cuando se multiplica por sí misma, proporciona su valor original. Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9 mientras que la raíz cuadrada de 9 es 3.

De una manera más generalizada, podemos decir que si ‘P’ es el número que se nos da, P ² representa el cuadrado de P. Mientras que la raíz cuadrada de P se expresa como √P. Podemos decir que la raíz cuadrada es la operación inversa del cuadrado. 

Cuadrícula

Todos los números cuadrados se pueden expresar mediante el producto de un número consigo mismo. 

4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100… y así sucesivamente. ¿Hay algo especial en estos números? Todos estos números son números cuadrados. Para ver esto, examinemos este patrón en estos números

2*2 = 2 ² = 4

3*3 = 3 ² = 9

4*4 = 4 ² = 16

5*5 = 5 ² = 25

Notación matemática para un cuadrado: un cuadrado se representa con el número 2 representado como exponente en el número, es decir, x ²

25 = 5 ²

16 = 4 ²

9 = 3 ² 

Estos signos dicen «2 al cuadrado», «3 al cuadrado» y «4 al cuadrado». Esta notación también se llama «superíndice» o «potencia» de un número. Aquí tenemos una potencia de 2, que se llama el cuadrado de un número. 

Entonces, en general, si un número natural p puede expresarse como q ² , donde q también es un número natural, entonces p es un número cuadrado.

Pregunta: ¿55 es un número cuadrado?

Responder: 

Miremos el cuadrado de 7, 7 ² = 49 y el cuadrado de 8, 8 ² = 64

55 se encuentra entre estos dos cuadrados, pero no hay un número natural entre 7 y 8. 

Entonces, no existe ningún número natural cuyo cuadrado sea 55. 

Cuando se trata de sumas, la resta es la operación inversa de la suma y viceversa. Pero en el caso de un cuadrado, la raíz cuadrada es la operación inversa al cuadrado. 

Por ejemplo:

• 2 ²  = 4, entonces la raíz cuadrada de 4 es 2.
• 3 ²  = 9, entonces la raíz cuadrada de 9 es 3.

También se puede ver que (-3) ² y (3) ² son iguales a 9. Entonces, 9 tiene dos raíces cuadradas. 

Entonces, concluimos que cualquier número cuadrado positivo tiene dos raíces cuadradas. Pero por el bien de la simplicidad, asumiremos solo la raíz cuadrada positiva por ahora. 

Propiedades de los Números Cuadrados

Propiedad 1: ninguno de los números cuadrados termina en 2, 3, 7 u 8 en el lugar de la unidad

Miremos la siguiente tabla, contiene los primeros veinte números naturales y sus cuadrados.

Si estudias esta tabla, te darás cuenta de que todos los números cuadrados terminan en 1, 4, 9, 6, 0 y 5. Ninguno de estos números termina en 2, 3, 7 u 8 en el lugar de las unidades.

Pero no es necesario que los números que terminan en 1,4,9,6,0 y 5 sean números cuadrados. Por ejemplo: 46, no es un número cuadrado. 

Propiedad 2: Los cuadrados de los números pares siempre son números pares y los cuadrados de los números impares siempre son impares.

Para apoyar esta afirmación, tomemos este ejemplo, 

12 ² = 12 × 12 = 144. (ambos son números pares)

11 ² = 11 × 11 = 121 (ambos son números impares)

30 ² = 30 × 30 = 900 (ambos son números pares) 

Propiedad 3: El número de ceros al final de un cuadrado perfecto siempre es par. En otras palabras, un número que termina en un número impar de ceros nunca es un cuadrado perfecto.

2500 es un cuadrado perfecto ya que el número de ceros es 2 (par) y 25000 no es un cuadrado perfecto ya que el número de ceros es 3 (impar).

Raíces cuadradas

Como ya hemos visto anteriormente, La raíz cuadrada de un número es aquel valor que multiplicado por sí mismo dará su número original.

La raíz cuadrada se representa con el símbolo √ llamado radical o raíz seguido del número que se llama radicando , es decir, √x.

Por ejemplo:

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

Propiedades de la raíz cuadrada

Propiedad 1: Si el dígito de las unidades de un número es 2, 3, 7 u 8, entonces no tiene raíz en N (el conjunto de los números naturales).

132, 433, 688 no tiene raíces cuadradas perfectas ya que los dígitos unitarios son 2, 3 y 8 respectivamente. Esta propiedad es evidente también a partir de la Propiedad 1 de los Números Cuadrados.  

Propiedad 2: Si un número termina en un número impar de ceros, entonces no tiene raíz cuadrada. Si a un número cuadrado le sigue un número par de ceros, tiene una raíz cuadrada en la que el número de ceros, al final, es la mitad del número de ceros en el número.

2000 no tiene una raíz cuadrada perfecta ya que el número de ceros es 3 (impar). 900 tienen una raíz cuadrada perfecta ya que el número de ceros es 2 (par). Entonces, la raíz cuadrada de 900 contendrá solo 1 cero. (la mitad de dos ceros).√900 = 30.

Propiedad 3: La raíz cuadrada de un número cuadrado par es par y la raíz de un número cuadrado impar es impar.

Ejemplo: √144 = 12 (ambos son números pares) y √225 = 15 (ambos son números impares).

Patrones interesantes en raíces cuadradas y cuadrados

Sumar números triangulares

Los números triangulares son los números cuyos patrones de puntos se pueden organizar como triángulos. Por ejemplo: 

Si combinamos dos números triangulares consecutivos, podemos obtener un número que es un cuadrado. 

Cuadrados de 1, 11, 111, 1111…

Los cuadrados de estos números dan lugar a un hermoso patrón. 

1 ²                       = 1

11 ²                     = 1 2 1 

111 ²                   = 1 2 3 2 1

1111 ²                 = 1 2 3 4 3 2 1 

11111 ²               = 1 2 3 4 5 4 3 2 1 

Cuadrados de números con dígito unitario 5

Supongamos un número con dígito unitario 5, es decir;

a5 ² = (10a + 5) ²

       = 10a(10a + 5) + 5(10a + 5)

       = 100a + 50a + 50a + 25

       = 100a (a + 1) + 25

Ejemplo: 

25 ² = 625 = (2 × 3) centenas + 25

35 ² = 1225 = (3 × 4) centenas + 25

75 ² = 5625 = (7 × 8) centenas + 25

125 ² = 15625 = (12 × 13) centenas + 25

Ejemplos de problemas sobre cuadrados y raíces cuadradas

Encontrar cuadrados

Pregunta 1: Encuentra el cuadrado de 23. 

Responder:

23 ² = (20 + 3) ²

      = 20(20 + 3) + 3(20 +3)

      = 20 ² + 20 × 3 + 3 × 20 + 3 ²

      = 400 + 60 + 60 + 9

      = 529

Pregunta 2: Encuentra el cuadrado de 39.

Responder:

39 ² = (30 + 9) ²

      = 30 (30 + 9) + 9 (30 + 9)

      = 30 ² + 30 × 9 + 9 × 30 + 9 ²

      = 900 + 270 + 270 + 81

      = 1521

Encontrar raíces cuadradas

Podemos encontrar raíces cuadradas a través de la descomposición en factores primos de un número. Veamos algunos ejemplos: 

Factorización prima de un número	Factorización prima de su cuadrado
6 = 2 × 3	36 = 2 × 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3	144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
15 = 5 × 3	225 = 5 × 5 × 3 × 3

Podemos ver que en la descomposición en factores primos de su cuadrado, cada número primo aparece dos veces en comparación con la descomposición en factores primos del propio número. 

Al emparejar los factores primos, podemos obtener una raíz cuadrada.

Pregunta 1: Encuentra la raíz cuadrada de 144. 

Responder:

144 = (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3)

       = 2 ² × 2 ² × 3 ²

       = (2 × 2 × 3) ²

       = 12 ²

Por lo tanto, √144 = 12

A veces un número no es un cuadrado perfecto. 

Pregunta 2: ¿Es 2352 un cuadrado perfecto? Si no, encuentra el múltiplo más pequeño de 2352 que es un cuadrado perfecto. Encuentra la raíz cuadrada del nuevo número.

Responder:

2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7

         = 2 ⁴ × 3 × 7 ²

Como el factor primo 3 no tiene par, 2352 no es un cuadrado perfecto.

Si 3 obtiene un par, entonces el número se convertirá en un cuadrado perfecto.

2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7

         = 2 ⁴ × 3 ² × 7 ²

2352 = 2 ² × 3 × 7 = 84

Hallar la raíz cuadrada de números decimales

Hay varios métodos para encontrar la raíz cuadrada de números decimales y el método más famoso y fácil de encontrar manualmente la raíz cuadrada se llama Método de factorización prima. Para números grandes, optamos por el método de división larga, ya que el método anterior se vuelve tedioso en el caso de números muy grandes.

Aprendamos cómo encontrar la raíz cuadrada de números decimales con un ejemplo:

Ejemplo: raíz cuadrada de 19,36

Paso 1: Haz pares de una parte entera y una parte decimal del número. Agregue un cero al extremo derecho de la parte decimal si es necesario.

Paso 2: Encuentra el cuadrado perfecto de una parte integral, encuentra el número más cercano a la parte integral (ya sea pequeño o igual). En este caso, el cuadrado de 4 es 16 que es el más cercano a 19:

Paso 3: Poner la Parte decimal al lado del Resto obtenido. Duplica el divisor de una Parte Integral y colócalo en el siguiente divisor, ahora tenemos que encontrar el valor posicional unitario de este número.

Paso 4: Ahora tenemos que encontrar el número del lugar de la unidad que se debe multiplicar para obtener 336, aquí podemos ver, si multiplicamos 84 con 4, obtendremos 336. 

Por lo tanto, obtuvimos 4.4 como la raíz cuadrada de 19.36