La trigonometría es una rama de las matemáticas estandarizadas que se ocupa de la relación entre longitudes, alturas y ángulos. La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las proporciones y las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Usando Trigonometría puede calcular varias medidas conectadas a un triángulo. Se definen algunas proporciones estándar para facilitar el cálculo de algunos problemas comunes relacionados con la longitud y los ángulos de los lados de un triángulo rectángulo.
razones trigonométricas
Una razón trigonométrica es la proporción de lados con cualquiera de los ángulos agudos en el triángulo rectángulo. Puede definirse como una razón trigonométrica simple en términos de los lados de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, el lado de la base y el lado perpendicular. Hay tres proporciones trigonométricas simples wiz. seno, coseno y tangente.
- El seno es la función que toma como parámetro un ángulo θ, que es cualquiera de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos y se define como la relación entre la longitud del lado opuesto y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En términos técnicos, se puede escribir como: sen(θ) = lado opuesto/hipotenusa
- El coseno es la función que toma como parámetro un ángulo θ, que es cualquiera de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos y se define como la relación entre la longitud del lado adyacente y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En términos técnicos, se puede escribir como: cos(θ) = lado adyacente / hipotenusa
- La tangente es la función que toma en el parámetro un ángulo θ, que es cualquiera de los ángulos agudos en los triángulos rectángulos y se define como la relación entre la longitud del lado opuesto al lado adyacente del triángulo rectángulo. . En términos técnicos, se puede escribir como: tan(θ) = lado opuesto / lado adyacente
Estas razones trigonométricas se relacionan entre sí usando algunas identidades y fórmulas trigonométricas,
- tan(θ) = sen(θ) / cos(θ)
- sen 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1
Cada uno de los cocientes trigonométricos tiene otros tres cocientes trigonométricos derivados que se deducen tomando el inverso de los cocientes respectivos. Las otras tres razones trigonométricas son cosecante, secante y cotangente, utilizadas matemáticamente como cosec, sec y cot. Estos están relacionados con las razones trigonométricas primarias de la siguiente manera,
- cosec(θ) = 1 / sin(θ)
- segundo(θ) = 1 / cos(θ)
- cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)
A continuación se muestran algunas de las identidades relacionadas con las razones trigonométricas estándar y las razones trigonométricas derivadas,
- bronceado 2 (θ) + 1 = segundo 2 (θ)
- cuna 2 (θ) + 1 = cosec 2 (θ)
Tabla trigonométrica
Los valores de cada ángulo trigonométrico son fijos y definidos, pero se introducen algunos ángulos muy comunes y sus valores para facilitar los cálculos, a continuación se muestra la tabla para algunos ángulos comunes y las razones trigonométricas básicas.
| Relación \ Ángulo (θ) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| pecado(θ) | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos(θ) | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| bronceado(θ) | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| cosec(θ) | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| segundo(θ) | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
| cuna(θ) | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
También hay algunas otras razones trigonométricas para aplicar más allá de los triángulos rectángulos,
- sen(-θ) = – sen(θ)
- cos(-θ) = cos(θ)
- bronceado(-θ) = – bronceado(θ)
Y, estas relaciones se usan en el Sistema de coordenadas cartesianas, también se usarán para resolver el enunciado del problema dado,
- sen(nπ/2 + θ) = cos(θ), sen(nπ/2 – θ) = cos(θ)
- cos(nπ/2 + θ) = -sin(θ), cos(nπ/2 – θ) = sen(θ)
- sin(nπ + θ) = -sin(θ), sin(nπ – θ) = sin(θ)
- cos(nπ + θ) = -cos(θ), cos(nπ – θ) = -cos(θ)
- sen(3nπ/2 + θ) = -cos(θ), sen(3nπ/2 – θ) = -cos(θ)
- cos(3nπ/2 + θ) = sen(θ), cos(3nπ/2 – θ) = -sin(θ)
- sin(2nπ + θ) = sin(θ), sin(2nπ – θ) = -sin(θ)
- cos(2nπ + θ) = cos(θ),cos(2nπ – θ) = cos(θ)
También hay algunas fórmulas trigonométricas especiales para la función tangente,
- cos (A + B) = [cos (A) × cos (B)] – [sen (A) × sin (B)]
- cos(A – B) = [cos(A) × cos(B)] + [sen(A) × sin(B)]
- sin (A + B) = [sin (A) × cos (B)] + [sin (B) × cos (A)]
- sin (A – B) = [sin (A) × cos (B)] – [sin (B) × cos (A)]
¿Cuál es el coseno y el seno de (15pi/4)?
Método 1:
Utilice algunas fórmulas de ángulo compuesto para calcular el valor de cos(15π/4). Aquí haga uso de la siguiente identidad o fórmula,
cos (A + B) = [cos (A) × cos (B)] – [sen (A) × sin (B)]
sin (A + B) = [sin (A) × cos (B)] + [sin (B) × cos (A)]
Solución:
cos(15π/4)
Escribe (15π/4) como (2π + 7π/4) Entonces,
cos(15π/4) = cos(2π + 7π/4)
cos (A + B) = [cos (A) × cos (B)] – [sen (A) × sin (B)]
Aquí, A = 2π y B = 7π/4
cos(15π/4) = cos(2π + 7π/4)
= [cos(2π) × cos(7π/4)] – [sin(2π) × sin(7π/4)]
= [(1) × cos(2π – (π/4)) – [(0) × sin(2π – (π/4))]
= [cos(π/4)] – [0]
= 1/√2
sin (A + B) = [sin (A) × cos (B)] + [sin (B) × cos (A)]
Aquí, A = 2π y B = 7π/4
pecado(15π/4) = pecado(2π + 7π/4)
= [sen(2π) × cos(7π/4)] + [cos(2π) × sin(7π/4)]
= [(0) × cos(2π – (π/4))] + [(1).sin(2π – (π/4))]
= [0] + [-sen(π/4)]
= -1/√2
Por lo tanto,
sen(15π/4) = -1/√2
cos(15π/4) = 1/√2
Método 2:
Utilice la identidad trigonométrica simple para calcular el valor de cos(15π/4) y sin(15π/4). Aquí hacer uso de la siguiente identidad,
sen(2π – θ) = – sen(θ)
cos(2π – θ) = cos(θ)
Solución :
(15π/4)
Escribe (15π/4) como (4π/ – π/4), Entonces,
sen(15π/4) = coseno(4π – π/4)
sen(2π – θ) = – sen(θ)
Aquí, θ = π/4 = 45°
sen(15π/4) = sen(4π – π/4)
= pecado [ (2(2π)) – (π/4) ]
= – pecado (π/4)
= -1/√2
Similarmente,
cos(2π – θ) = cos(θ)
aquí, θ = π/4
cos(15π/4) = cos(4π – π/4)
= cos [ (2(2π)) – (π/4) ]
= coseno (π/4)
= 1/√2
Por lo tanto,
sen(15π/4) = -1/√2
cos(15π/4) = 1/√2
Método 3
Hacer uso de identidades trigonométricas y fórmulas de ángulos compuestos para calcular el valor de sin(15π/4) y cos(15π/4),
Solución :
cos(15π/4)
Escribe (15π/4) como (3π + 3π/4), Entonces,
cos(15π/4) = cos(3π + 3π/4)
Las fórmulas del ángulo compuesto,
cos (A + B) = (cos(A) × cos(B)) – (sin(A) × sin(B)) ,
Aquí, A = 3π y B = 3π/4
Por lo tanto,
cos(15π/4) = cos( 3π + 3π/4)
= [ cos(3π).cos(3π/4) ] – [ sen(3π).sen(3π/4) ]
= [ (0).cos(π/2+(π/4)) ] – [ (-1).sen(π/2 + (π/4]) ]
= [ -sin(π/4).(0) ] – [ -cos(π/4) ]
= 0 – (-1/√2)
= 1/√2
Ahora,
sin (A + B) = [sin (A) × cos (B)] + [sin (B) × cos (A)]
pecado(15π/4) = pecado(3π + 3π/4)
= [sen(3π) × cos(3π/4)] – [cos(3π) × sin(3π/4)]
= [(-1) × cos(π/2 + (π/4))] – [(0) × sin(π/2 + (π/4])]
= [-sen(π/4)] – [(0) × (cos(π/4)]
= (-1/√2) – (0)
= -1/√2
Por lo tanto,
sen(15π/4) = -1/√2
cos(15π/4) = 1/√2
Entonces, a partir de los métodos anteriores, se calcula el valor de cos(15π/4) y sin(15π/4), que son 1/√2 y -1/√2 respectivamente.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el valor de cos(3π/4)
Solución :
Escribe (3π/4) como (π/2 + π/4) Entonces,
cos(3π/4) = coseno (π/2 + π/4)
cos(nπ/2 + θ) = – sen(θ)
Aquí, θ = π/4
cos(3π/4) = – sin(π/4)
= – 1/√2
Por lo tanto,
cos(3π/4) = -1/√2
Pregunta 2: Encuentra el valor de sin(19π/6)
Solución :
Escribe (19π/6) como (3π + π/6) Entonces,
pecado(19π/6) = pecado(3π + π/6)
sen(nπ + θ) = – sen(θ)
Aquí, θ = π/6
pecado(19π/6) = – pecado(π/6)
= -1/2
= -0.5
Por lo tanto,
sen(19π/6) = -0.5
Pregunta 3: Encuentra cosec y sec de (7π/6)
Solución:
Escribe (7π/6) como (π + π/6) Por lo tanto,
pecado(7π/6) = pecado(π + π/6)
Ya que, sen(nπ + θ) = – sen(θ)
pecado(7π/6) = pecado(π + π/6)
= – pecado(π/6)
= -1/2
Ya que, cosec(θ) = 1 / sin(θ)
Por lo tanto,
cosec(7π/6) = 1/ sin(7π/6)
= 1 / (-1/2)
= -2
Ahora, cos(7π/6) = cos(π + π/6)
Ya que, cos(nπ + θ) = – cos(θ)
cos(7π/6) = cos(π + π/6]
= – cos(π/6)
= – √3/2
Ya que, sec(θ) = 1/cos(θ)
segundo(7π/6) = 1 / cos(7π/6)
= 1 / (-√3/2)
= -2/√3
De este modo,
cosec(7π/6) = -2
segundo(7π/6) = -2/√3