Una lista ordenada de números se llama secuencia. Cada número de la sucesión se llama término. Una secuencia se denota como un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , …. a n donde, a 1 es el primer término, a 2 es el segundo término… a n es el enésimo término. Una secuencia finita consta de una lista finita de números como, por ejemplo, {2, 4, 8, 16, 32} es una secuencia finita, mientras que una secuencia infinita consta de una lista infinita de números, como por ejemplo {3,7,11 ,15,…}.
Una secuencia con un Patrón específico se llama Progresión . La suma de los términos de una sucesión se llama Serie . La Serie correspondiente de la sucesión definida anteriormente es un 1 + un 2 + un 3 + un 4 + …. + un norte La serie puede ser finita o infinita dependiendo de si la sucesión es finita o infinita.
Secuencia aritmética
Una sucesión se llama sucesión aritmética si la diferencia entre los dos términos es constante. Ejemplo: veamos la secuencia {-6, -3, 0, 3, 6,….}. Al observar el ejemplo anterior, se puede identificar fácilmente que sumar 3 para el primer término de la secuencia para obtener el segundo término y, de manera similar, sumar 3 para el segundo término para obtener el tercer término, y así sucesivamente. Entonces, supongamos que a = -6 y d = 3 (constante), podemos definir la secuencia anterior como {a, a+d, a+2d, a+3d,….}. Por lo tanto, la regla para definir una sucesión aritmética será como,
un norte = un + re ( n – 1)
Donde a es el primer término y d es la diferencia común
¿Cuál es la diferencia común de un AP?
Ahora se sabe que cada término de una progresión aritmética se obtiene sumando una constante al término anterior excepto al primer término de la secuencia. Esta constante se llama «diferencia común». La diferencia común de una sucesión aritmética se define como la diferencia constante entre los dos términos consecutivos de una sucesión. La fórmula para obtener la diferencia común es,
d = un norte – un n -1
Propiedades de la diferencia común
- Si se suma una constante a cada término de un AP, la secuencia resultante también es un AP
- Si se resta una constante de cada término de un AP, la secuencia resultante también es un AP
- Si una constante se multiplica por cada término de un AP, la secuencia resultante también es un AP
- Si una constante distinta de cero se divide por cada término de un AP, la secuencia resultante también es un AP
Ejemplo de diferencia común
Ejemplo 1 Veamos la siguiente sucesión aritmética
100, 95, 90, 85, 80, 75, ….
Encontremos la diferencia común de la siguiente manera,
un 2 – un 1 = 95 – 100 = -5
un 3 – un 2 = 90 – 95 = -5
un 4 – un 3 = 85 -90 = -5
Entonces, aquí la diferencia común es -5 que es negativa. Este tipo de progresión aritmética se llama AP decreciente o AP reductor.
Ejemplo 2 Veamos el siguiente ejemplo,
3, 8, 13, 18, 23, ….
encontremos la diferencia común usando la fórmula d = a n – a{n – 1}
n = 2; re = un 2 – un 1 = 8 – 3 = 5
n = 3; d = un 3 – un 2 = 13 – 8 = 5
n = 4; d = un 4 – un 3 = 18 – 13 = 5
Por lo tanto, la diferencia común en este ejemplo es 5 , lo que significa que ap está aumentando. Este tipo de AP se llama AP creciente
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra la diferencia común,
3, 3, 3, 3, 3, …
Solución:
encontremos la diferencia común,
n = 2; d = a2 – a1 = 3 – 3 = 0
n = 3; d = a3 – a2 = 3 – 3 = 0
n = 4; re = a4 – a3 = 3 – 3 = 0
Por lo tanto, la diferencia común aquí es 0 . Incluso 0 se considera constante. Entonces, este tipo de secuencia también se considera progresión aritmética.
Pregunta 2: Encuentra la diferencia común,
2, 4, 6, 8, 10,12 ,….
Solución:
Consideremos la sucesión, 2, 4, 6, 8, 10,12 ,….
Multipliquemos cada término de la secuencia anterior por 2. La secuencia resultante será,
4, 8, 12, 16, 20, …..
Ahora,
n = 2; re = un 2 – un 1 = 8 – 4 = 4
n = 3; re = un 3 – un 2 = 12 – 8 = 4
n = 4; d = un 4 – un 3 = 16-12 = 4
Por lo tanto, la diferencia común es una constante 4 y satisface la propiedad número 3 como se discutió anteriormente.
Pregunta 3: Encuentra la diferencia común, 3, 6, 9, 12, 15,…
Solución:
Consideremos la sucesión 3, 6, 9, 12, 15,…
Dividamos la secuencia anterior por 3 . La secuencia resultante será
1, 2, 3, 4, 5,….
Ahora,
n = 2; d = un 2 – un 1 = 2 -1 = 1
n = 3; re = un 3 – un 2 = 3 – 2 = 1
n = 4; re = un 4 – un 3 = 4 – 3 = 1
Por lo tanto, la diferencia común es una constante 1 y satisface la propiedad número 4 como se discutió anteriormente.
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Artículo escrito por namaldesign y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA