¿Cuál es la fórmula para encontrar la suma de n términos en AP?

Una progresión es básicamente una lista de términos (generalmente números) que siguen un patrón lógico y predecible particular. Hay una cierta relación entre los dos términos en cada tipo de Progresión. La naturaleza predecible de la progresión ayuda a formar una fórmula generalizada para esa progresión. Las fórmulas incluyen encontrar el enésimo término de la serie, encontrar la suma de la serie, etc. Se conocen tres tipos principales de progresiones,

Tipos de progresión

En Matemáticas, la progresión de los números se puede clasificar en tres tipos específicos principalmente:

1. Progresión aritmética
2. Progresión geométrica
3. Progresión Armónica

Aprendamos en detalle sobre la progresión aritmética,

Progresión aritmética 

La progresión aritmética es básicamente una secuencia de números que existen de tal manera que la diferencia entre dos números consecutivos es un valor o cantidad constante, esa diferencia se denota como «d». El primer término en AP se denota como «a» y el último término (para series finitas) como «n». Por ejemplo, considere la secuencia de números naturales pares 2, 4, 6, 8, 10,……. Si consideramos que la diferencia entre dos números cualesquiera (8-6) es 2. Algunos de los otros pocos ejemplos de progresión aritmética son Secuencia de números naturales impares, Secuencia de números naturales.

Una representación generalizada de la progresión aritmética

El primer término se representa como “a” y la diferencia común se representa como “d”, por lo tanto, el siguiente término debe ser a+d, y el siguiente término debe ser a+d+d, en base a esto, a Se puede formar una forma generalizada de representar el AP. La progresión aritmética se puede expresar como,

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ………. a+ (n-1)d

En la expresión anterior, “a” representa el primer término  de la progresión, “d” representa la diferencia común

El último término “a _n ” de la progresión se representa como,

a _n =a+(n-1)d 

¿Cuál es la fórmula para la suma de n términos de un AP?

La Suma de cualquier progresión es básicamente la sumatoria de todos sus términos, existe una fórmula generalizada formada para los n términos de un AP Si el primer término se denota como “a”, la diferencia común se denota como “d”, el número de términos presentes se denota como «n», entonces la fórmula se da como,

O   

La Suma de n términos de una Progresión Aritmética también puede estar dada por S _n ,

S _n = N*[Primer término + Último término]/2

Prueba de la suma de n términos en un AP

Consideremos la representación generalizada de la progresión aritmética, la suma de todos los términos en la secuencia anterior se da como,

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ………. a+ (n-1)d

S _n = (a+ a+ d+ a+ 2d+ a+ 3d+ a+ 4d+….. a+ (n-1)d) ⇢ (a)

Ahora reescribamos la ecuación anterior en orden inverso, obtenemos la ecuación como,

S _n = (a+ (n-1)d + a+ (n-2)d+ a+ (n-3)d+ ….. +a) ⇢ (b)

En el siguiente paso, sume la ecuación (a) con la ecuación (b), después de la suma, el resultado es el siguiente,

2S _n = (2a+ (n-1)d + 2a+ (n-1)d+…….. + 2a+ (n-1)d) (n términos)

2S _n = [2a + (n-1)d] × d

Pregunta 1: Considere la secuencia de los primeros 5 números naturales pares AP=2, 4, 6, 8, 10. Halle la suma de los AP

Solución:

De la ecuación anterior, se sabe que, a =2, d= 4- 2= 2, y a _n =10

Usando la ecuación anterior de suma de n términos en un AP y sustituyendo los valores,

S norte = _5/2 [2 × 2+ (5-1) × 2]

S _n = 30

Entonces, la suma de los primeros 5 números naturales pares es 30

Pregunta 2: Considere los primeros 5 números naturales impares como un AP Encuentre la suma de la serie.

Solución:

Los primeros 5 números naturales impares son 1, 3, 5, 7, 9

Aquí, el primer término, a= 1, la diferencia común, d= 3- 1= 2, el número de términos en la serie, n=5

Por lo tanto, la suma de la serie es 25.