¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B o ambos eventos?

Otra palabra para probabilidad es una posibilidad. La probabilidad es una rama de las matemáticas que se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento. La probabilidad del número se indica de cero a uno. En matemáticas, la probabilidad se ha descrito para predecir la probabilidad de que ocurra un evento probable. El significado de probabilidad es la probabilidad de que algo suceda con probabilidad o certeza. A continuación se presentan las terminologías utilizadas en probabilidad,

Elegir lenguaje	Establecer notación
Subconjunto A (o evento A)	por ejemplo, un
Complemento de A	una c
Unión de A y B	A ∪ B
Intersección de A y B	A ∩ B o AB
A y B son disjuntos (mutuamente excluyentes)	PAG(A ∩ B) = 0.
A es un subconjunto de B	A ⊆ B

Reglas de probabilidad

Hay diferentes reglas de probabilidad como regla complementaria, regla de diferencia, regla de inclusión-exclusión, probabilidad condicional, etc. Echemos un vistazo a estas reglas en detalle,

• Regla del Complemento: Según esta regla, la posibilidad de que no ocurra A es igual a la posibilidad de que ocurra el complemento del evento A.

Fórmula ⇒ P(A ^c ) = 1 – P(A).

• Regla de la diferencia: De acuerdo con esta fórmula, si A es un subconjunto de B, entonces la posibilidad de que ocurra B pero no A es,

⇒ P(B) – P(A) = P(BA^c).

• Regla de inclusión-exclusión: De acuerdo con esta regla, la posibilidad de que ocurra A o B (o ambos) es,

⇒ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB).

• Probabilidad Condicional: Según esta probabilidad la medida de la probabilidad de que ocurra un evento dado que ya ha ocurrido otro evento = P(A|B). En otras palabras, entre aquellos casos en los que ha ocurrido B, P(A|B) es la proporción de casos en los que ocurre el evento A.
• Regla de la multiplicación: Según esta regla, la posibilidad de que ocurran tanto A como B es igual a la posibilidad de que ocurra B multiplicada por la posibilidad condicional de que ocurra A dado que ocurre B. 

⇒ P(AB) = P(B) P(A|B).

En consecuencia, la probabilidad condicional viene dada por P(A|B) = P(AB)/P(B). De manera similar, la posibilidad de que A ocurra multiplicada por la posibilidad condicional de que B ocurra dado que A tiene: P(A) P(B|A) = P(AB), entonces, P(B|A) = P(AB)/P (A).

• Regla de Bayes: Esta fórmula relaciona la probabilidad dependiente de B dado A con la probabilidad dependiente de A dado B.

⇒ P(B|A) = P(B) P(A|B) / P(A)

• Fórmula promedio: digamos que el conjunto A se puede separar completamente en n subconjuntos exclusivos combinados. Entonces, la probabilidad con todo incluido de A es igual a la probabilidad promedio de A en el subgrupo ponderada por la probabilidad de esos subgrupos:

⇒ P(A) = P(A|B ₁ ) P(B ₁ ) + P(A|B ₂ ) P(B ₂ ) + … + P(A|B _n ) P(B _n )

• Independencia: Según esta regla, si la posibilidad de A no depende de que B ocurra o no, entonces decimos que A y B son independientes, lo que significa que no dependen entre sí.

SOLO para eventos independientes,

⇒ P(A|B) = P(A)

⇒ P(AB) = P(A) P(B)

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B o ambos eventos?

Solución:

Consideremos que A y B son el evento probable. Según la regla de inclusión-exclusión:

La probabilidad de que ocurra A o B (o ambos) es,

⇒ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB).

Por ejemplo: si se lanza una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara, cruz o ambas cruces?

Cuando se lanza una moneda, se obtiene CARA o COLA. 

La probabilidad de cualquiera es la misma, que es 0,5 o 1⁄2.

Cuando se lanzan dos monedas, los posibles resultados son:

Voltear 1	Voltear 2
H	H
H	T
T	H
T	T

Tenga en cuenta que existe la misma posibilidad de que ocurra cualquiera de las cuatro combinaciones como 

P(CARA) = P(COLAS) = 0.5

Hay 4 resultados posibles, es decir, (H, H), (H, T), (T, H) y (T, T). Solo una opción de las cuatro es (COLAS, COLAS), así que P(VOLTEO 1 y TIRO 2 = COLAS, COLAS).

= (1/4) = 0,25 = 25%

Ahora aplique la fórmula: La probabilidad de que ocurran los eventos A o B (o ambos) es

⇒ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB).

= 1⁄2 + 1⁄2 – 1⁄4

= 2⁄2 – 1⁄4

= 0,75

Problemas similares

Pregunta 1: Si la probabilidad de tener ojos verdes es del 10 %, la probabilidad de tener cabello castaño es del 75 % y la probabilidad de ser una persona con cabello castaño y ojos verdes es del 9 %, supongamos que A tiene ojos verdes y B como cabello castaño, ¿cuál es la probabilidad de:

1. ¿No tener ojos verdes?
2. ¿Tienes ojos verdes pero no cabello castaño?
3. ¿Tienes ojos verdes y/o cabello castaño?

Solución:

• ¿No tienes ojos verdes?

Fórmula: P(A ^c )

= 1 – P(A) (Según Regla del Complemento)

= 1 – 10%

= 0,9 o 90%

• ¿Tener ojos verdes pero no cabello castaño?

Fórmula: P(A) – P(AB)

= 10% – 9%

=0.091 o 9.1%

• ¿Tener ojos verdes y/o cabello castaño?

Fórmula: P(AUB)

= P(A) + P(B) – P(AB) (Según regla de inclusión-exclusión)

= 10% + 75% – 9%

= 0.15925 o 15.925%

Pregunta 2: Si la probabilidad de tener zapatos negros es del 9 %, la probabilidad de tener una camisa marrón es del 75 % y la probabilidad de que una persona use una camisa marrón con zapatos negros es del 10 %, consideremos A como zapatos negros. y B como una camisa marrón, ¿cuál es la probabilidad de:

1. ¿No tener zapatos negros?
2. ¿Tienes zapatos negros pero no una camisa marrón?
3. ¿Tienes zapatos negros y/o una camisa marrón?

Solución:

• ¿No tener zapatos negros?

Fórmula: P(A ^c )

= 1 – P(A) (Según Regla del Complemento)

= 1- 9%

= 0,91 o 91%

• ¿Tener zapatos negros pero no camisa marrón?

Fórmula: P(A) – P(AB)

= 9% – 10%

= 0.081 o 8.1%

• ¿Tener zapatos negros y/o camisa marrón?

Fórmula: P(AUB)

= P(A) + P(B) – P(AB) (Según regla de inclusión-exclusión)

= 9% + 75% – 10%

= 0.14175 o 14.175%