En matemáticas, el teorema de la raíz racional se utiliza para identificar las posibles raíces racionales de una función polinomial, particularmente cuando la función no es factorizable. Estas raíces racionales también se conocen como intersecciones con x, ceros y soluciones. Establece el polinomio en 0 para resolverlos, como y=0 en nuestro eje x. Para utilizar el teorema de la raíz racional, primero debe comprender los fundamentos de una función polinomial. Una función polinomial es aquella que involucra solo potencias enteras positivas de x con términos que mezclan suma y resta. Si los términos de un polinomio se ordenan de mayor a menor exponente, se dice que está en forma estándar.
Teorema del cero racional
El teorema del cero racional establece que cada uno de los ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros tiene la forma p/q,
f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +….+a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0
Dónde,
- p es un factor de la constante a 0 y
- q es un factor del coeficiente principal a n .
- p y q son primos relativos
Una raíz racional de una función polinomial,
f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +….+a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0
p/q = factor del último término (a 0 )/factor del primer término (a n ).
Nota: a n , a n – 1 , …, a 2 , a 1 , a 0 son números enteros.
Como ejemplo, 3x 3 + 2 – 4x 5 en forma estándar es -4x 5 + 3x 3 + 2. Si el polinomio está en forma estándar, el coeficiente principal es el primer término; de lo contrario, recurra al término con el exponente más alto. El término constante de un polinomio es el único término que no tiene variable. En el ejemplo anterior, el coeficiente principal es -4 y la constante es 2. Finalmente, un número racional es aquel que se puede escribir como el cociente o fracción de dos números enteros. Esto indica que los números como no son lógicos ya que incluyen decimales repetidos.
De acuerdo con el teorema de la raíz racional, una solución racional para una ecuación polinomial con coeficientes enteros debe estar representada por un factor de la constante (denotado por la variable p) dividido por un factor del coeficiente principal (denotado por la variable q). Esto significa que el teorema de la raíz racional encuentra todas las posibles soluciones de un polinomio enumerando todos los componentes del coeficiente principal y la constante y mostrándolos como una fracción. Esto está representado por la siguiente lista de posibles raíces: ±p/q
El «teorema del cero racional» (o «teorema de la raíz racional») es otro nombre para las pruebas del cero racional. Se utiliza para generar una lista de posibles ceros racionales de funciones polinómicas. El teorema de la raíz racional se utiliza para determinar el conjunto de todos los ceros racionales posibles de una función polinomial (o) las raíces racionales (soluciones) de una ecuación polinomial.
¿Cómo te ayuda el teorema del cero racional a encontrar posibles ceros racionales?
Para calcular los ceros racionales de una función polinómica f (x),
- Encuentre la constante y sus componentes. Cada número simboliza la letra p.
- Determine el coeficiente principal y sus componentes. Cada número simboliza la letra q.
- Encuentre todos los pares p/q factibles, y estos son todos los ceros racionales posibles.
- Todos estos pueden no ser los verdaderos orígenes. Simplemente reemplace para descubrir cuál de los ceros racionales satisface f(x) = 0.
¿Cómo funciona el teorema del cero racional?
El teorema del cero racional es otro nombre para el teorema del cero racional. Estas son algunas medidas básicas a tomar:
- Ordena f(x) en orden descendente de exponentes variables.
- Escribe los factores del término constante, es decir, todos los valores posibles de p.
- Escriba los factores del coeficiente principal, o todos los valores posibles de q.
- Escriba todos los valores potenciales de p/q. Debido a que las variables pueden ser negativas, se deben proporcionar tanto p/q como – p/q. Elimine cualquier duplicación y simplifique cada valor.
- Para encontrar los valores de p/q para los cuales f(p/q) = 0, use la división sintética. Todas estas son las raíces lógicas de f. (X).
Sistema Raíz Racional
Si una función polinomial incluye coeficientes enteros y se expresa en orden decreciente de exponentes, entonces cada cero racional debe tener la forma ± p/ q, donde p es un factor de término constante y q es un factor de coeficiente principal. Cero Racional: Un valor x ∈ Q tal que f(x)=0. En otras palabras, x es un número racional que cuando se ingresa en la función f, la salida es 0. Si un polinomio tiene coeficientes enteros, todos sus ceros tendrán la forma p/q donde p es un factor de la constante término y q es un factor del coeficiente del término principal.
Pasos para usar el teorema de los ceros racionales para encontrar todos los ceros racionales posibles con ceros posibles repetidos:
Paso 1: Encuentra todos los factores (p) del término constante. Los factores pueden ser negativos, así que enumere ± para cada factor.
Paso 2 : encuentre todos los factores (q) del término principal. (El término que tiene la mayor potencia de x).
Paso 3 : Liste todas las combinaciones posibles de ±p/q como los posibles ceros del polinomio. Simplifique la lista para eliminar y elementos repetidos.
¿Cuáles son todos los ceros racionales posibles para f(x) = 2x 4 + x 3 – 35x 2 – 113x + 65?
Solución:
f(x) = 2x 4 + x 3 – 35x 2 – 113x + 65
Paso 1: Encuentra todos los factores (p) del término constante. Estamos buscando los factores de 65, que son ±1, ±5, ±13 y ±65.
Paso 2: Encuentra todos los factores (q) del coeficiente del término principal. Estamos buscando los factores de 2, que son ±1 y ±2.
Paso 3: Haz una lista de todas las combinaciones posibles de ±p/q como los posibles ceros del polinomio. Simplifique la lista para eliminar y elementos repetidos. Esto significa que tenemos, p/q = ±1, ±5, ±13, ±65/±1, ±2 lo que nos da la siguiente lista,
±1/1, ±5/1, ±13/1, ±65/1, ±1/2, ±5/2, ±13/2, ±65/2.
Ahora, simplificamos la lista y eliminamos cualquier duplicado. Así, los posibles ceros racionales del polinomio son:
±1, ±5, ±13, ±65, ±1/2, ±5/2, ±13/2, ±65/2.
Paso 4: Usando la división sintética,
2x 4 + x 3 – 35x 2 – 113x + 65/(x – 5)
= 2x 3 + 11x 2 + 20x – 13
Otra vez dividiendo 2x 3 + 11x 2 + 20x – 13/(x – 1/2)
= 2x 2 +12x+26
Como el resto es 0, x – 5 y x-1/2 son factores. el otro factor es el cociente:
2×2 + 12x + 26 = 2(x2 + 6x + 13)
Usando la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de x 2 + 6x + 13 = 0;
Resolviendo la fórmula cuadrática obtendremos el valor: -3 ± 2i.
Los ceros complejos para la ecuación dada son 5, 1/2, -3 – 2i, -3 + 2i.
Preguntas conceptuales
Pregunta 1: ¿Cuál es la definición del teorema de la raíz racional?
Responder:
De acuerdo con el teorema de la raíz racional, el cero racional de un polinomio tiene la forma p/q, donde p es un factor del término constante y q es un factor del coeficiente principal.
Pregunta 2: ¿Por qué es importante el teorema de la raíz racional?
Responder:
El teorema de la raíz racional se utiliza para determinar el conjunto de todos los ceros racionales posibles de una función polinomial (o) las raíces racionales (soluciones) de una ecuación polinomial.
Pregunta 3: ¿Qué significan p y q en el teorema del cero racional?
Responder:
p y q representan todas las posibles raíces racionales de un polinomio en el teorema del cero racional. p representa todos los factores positivos y negativos de la constante del polinomio, mientras que q representa todos los factores positivos y negativos del coeficiente principal del polinomio.
Pregunta 4: ¿Hay alguna diferencia entre raíces racionales y ceros racionales?
Responder:
Las raíces racionales también se conocen como ceros racionales. Encontrar las intersecciones x racionales de un polinomio se considera igual.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra las posibles raíces racionales de x 3 – x 2 – 10x – 8 = 0. Luego determina las raíces racionales.
Solución:
De acuerdo con el teorema de la raíz racional, si p/q es la raíz de la ecuación, entonces p es el factor de 8 y q es el factor de 1
Posibles valores de p: ±1, ±2, ±4, ±8
Posibles valores de q: ±1
Posibles raíces racionales, p/q: ±1, ±2, ±4, ±8
Por lo tanto, x 3 – x 2 – 10x – 8 = (x + 2)(x 2 – 3x – 4). Factorizando x 2 – 3x – 4 se obtiene (x – 4)(x + 1). Las raíces de x 3 – x 2 -10x – 8 = 0 son -2, -1 y 4.
Pregunta 2: Encuentra las posibles raíces racionales de y = x 5 + 3x 2 − 10x – 24.
Solución:
Necesitamos todos los factores disponibles, tanto positivos como negativos, de nuestros coeficientes principales y atrasados para emplear el teorema de la raíz racional. Nuestros factores clave son: ±1. Los componentes del último término son más complicados: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ±24.
¡Qué trabajo! Ahora tomamos el segundo conjunto (del término constante) y lo colocamos encima del primer conjunto. Puede parecer al revés, pero así es como lo hacemos. El término de gastos generales es constante.
Eso es simple en nuestro caso ya que las frases iniciales son ±1. Como resultado, nuestra lista final de variables viables es la siguiente: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ±24.
Pregunta 3: Encuentra las posibles raíces racionales de y = 3x 7 −12x 3 + 52x 2 − 96x + 9.
Solución:
Los factores constantes son ±1, ±3, ±9. Estos son los que van arriba. Los factores principales son ±1, ±3. Los pegaremos a continuación. Escribamos todas las combinaciones: 1/1, 1/3, 3/1, 3/3, 9/1, 9/3. Podemos tener cualquier combinación de números positivos y negativos que nuestros corazones deseen, así que estos son todos ± también.
La respuesta final es ±1, ±3, ±9 y ±1/3.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por karthik_reddy0006 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA