La permutación se define como el proceso de estructuración de un grupo en el que todos sus miembros están organizados en alguna secuencia u orden. Es un procedimiento sencillo de secuenciar u organizar cada dato o datos seleccionados de un lote de datos o distribución de datos. Es una de las varias formas de organizar elementos en una secuencia específica. El signo n P r se usa para indicar el número de permutaciones de n objetos únicos tomados r a la vez.
Fórmula de permutación
norte PAG r = norte! / (n – r)!
La fórmula anterior da el número de permutaciones (arreglos) de n objetos diferentes si se seleccionan r objetos a la vez y la repetición es
no permitido. Aquí el valor de r se encuentra entre 0 y n, tal que 0 < r ≤ n.
Si se permite la repetición, la fórmula viene dada por la r -ésima potencia de n, es decir, n r .
Derivación
Supongamos que hay n objetos de los cuales solo r debe seleccionarse en una instancia. Además, estos objetos deben llenarse en diferentes contenedores cada vez que se seleccionan r objetos.
Claramente, el número de permutaciones para cada uno de estos n objetos distintos tomando r entidades a la vez es n P r .
El número de formas en que se puede llenar el primer contenedor es de n formas.
El número de formas en que se puede llenar el segundo contenedor es (n – 1) formas.
El número de formas en que se puede llenar el tercer contenedor es (n – 2) formas.
El número de formas en que se puede llenar el cuarto contenedor es (n – 3) formas.
De manera similar, para el contenedor r -ésimo , el número de formas es (n – (r – 1)).
Ahora, el número total de formas de llenar r contenedores en continuación es el producto del número de formas para todos los contenedores. Esto puede ser denotado por n P r ya que ambos tienen el mismo significado.
norte PAGS r = norte (n – 1) (n – 2) (n – 3) . . . (n – (r – 1))
norte PAG r = norte (n – 1) (n – 2) … (n – r + 1)
Multiplicar y dividir la RHS por (n – r) (n – r – 1) . . . 3 × 2 × 1 tenemos,
norte PAG r = norte! / (n – r)!
Esto deriva la fórmula para el número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, tal que 0 < r ≤ n.
¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 5 elementos de 8?
Solución:
Tenemos, n = 8 y r = 5.
Caso 1: Si se permite la repetición
No de permutaciones = n r
= 8 5
= 8 × 8 × 8 × 8 × 8
= 32768
Caso 2: Si no se permite la repetición
Aquí, el número de permutaciones está dado por,
8 P 5 = 8!/(8 – 5)!
= 8!/3!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4
= 6720
Problemas similares
Problema 1. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 4 de 10?
Solución:
Tenemos, n = 10 y r = 4.
Caso 1: Si se permite la repetición
No de permutaciones = n r
= 10 4
= 10 × 10 × 10 × 10
= 10000
Caso 2: Si no se permite la repetición
Aquí, el número de permutaciones está dado por,
10 P 4 = 10!/(10 – 4)!
= 10!/6!
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040
Problema 2. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 3 de 7?
Solución:
Tenemos, n = 7 y r = 3.
Caso 1: Si se permite la repetición
No de permutaciones = n r
= 7 3
= 7 × 7 × 7
= 343
Caso 2: Si no se permite la repetición
Aquí, el número de permutaciones está dado por,
7 P 3 = 7!/(7 – 3)!
= 7!/4!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 7 × 6 × 5
= 210
Problema 3. Encuentra el número de formas diferentes en que se pueden formar las letras de la palabra “MATHS” si no se permite la repetición.
Solución:
La palabra “MATEMÁTICAS” tiene 5 letras. Entonces, el valor de n es 5.
Ahora las diferentes formas en que se pueden formar las letras de la palabra “MATHS” viene dada por,
N = n!
= 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120
Problema 4. Calcula las palabras únicas de 3 letras que se pueden formar usando la palabra “JACKPOT”.
Solución:
La palabra “BOTE” tiene 6 letras. Entonces, el valor de n es 6. Aquí, r = 3.
Entonces, el número de permutaciones está dado por,
6 P 3 = 6!/(6 – 3)!
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)
= 6 × 5 × 4
= 120
Problema 5. Calcula las palabras únicas de 4 letras que se pueden formar usando la palabra “DEPÓSITO”.
Solución:
La palabra “DEPÓSITO” tiene 7 letras. Entonces, el valor de n es 7. Aquí, r = 4.
Entonces, el número de permutaciones está dado por,
7 P 4 = 7!/(7 – 4)!
= 7!/3!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)
= 7 × 6 × 5 × 4
= 840
Problema 6. ¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar a partir del número “12345678”?
Solución:
El número “12345678” tiene 8 dígitos. Entonces, el valor de n es 8. Aquí, r = 5.
Entonces, el número de permutaciones está dado por,
8 P 5 = 8!/(8 – 5)!
= 8!/3!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4
= 6720
Problema 7. Calcular las palabras únicas de 5 letras que se pueden formar con la palabra “HERMOSA”.
Solución:
La palabra “HERMOSA” tiene 9 letras. Entonces, el valor de n es 9. Aquí, r = 5.
Entonces, el número de permutaciones está dado por,
9 P 5 = 9!/(9 – 5)!
= 9!/4!
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5
= 15120