¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 5 elementos de 8?

La permutación se define como el proceso de estructuración de un grupo en el que todos sus miembros están organizados en alguna secuencia u orden. Es un procedimiento sencillo de secuenciar u organizar cada dato o datos seleccionados de un lote de datos o distribución de datos. Es una de las varias formas de organizar elementos en una secuencia específica. El signo n P r se usa para indicar el número de permutaciones de n objetos únicos tomados r a la vez. 

Fórmula de permutación

norte PAG r = norte! / (n – r)! 

La fórmula anterior da el número de permutaciones (arreglos) de n objetos diferentes si se seleccionan r objetos a la vez y la repetición es

no permitido. Aquí el valor de r se encuentra entre 0 y n, tal que 0 < r ≤ n.

Si se permite la repetición, la fórmula viene dada por la r -ésima potencia de n, es decir, n r .

Derivación

Supongamos que hay n objetos de los cuales solo r debe seleccionarse en una instancia. Además, estos objetos deben llenarse en diferentes contenedores cada vez que se seleccionan r objetos.

Claramente, el número de permutaciones para cada uno de estos n objetos distintos tomando r entidades a la vez es n P r .

El número de formas en que se puede llenar el primer contenedor es de n formas.

El número de formas en que se puede llenar el segundo contenedor es (n – 1) formas.

El número de formas en que se puede llenar el tercer contenedor es (n – 2) formas.

El número de formas en que se puede llenar el cuarto contenedor es (n – 3) formas.

De manera similar, para el contenedor r -ésimo , el número de formas es (n – (r – 1)).

Ahora, el número total de formas de llenar r contenedores en continuación es el producto del número de formas para todos los contenedores. Esto puede ser denotado por n P r ya que ambos tienen el mismo significado.

norte PAGS r = norte (n – 1) (n – 2) (n – 3) . . . (n – (r – 1))

norte PAG r = norte (n – 1) (n – 2) … (n – r + 1)

Multiplicar y dividir la RHS por (n – r) (n – r – 1) . . . 3 × 2 × 1 tenemos,

{^{n}}P_r = \frac{n (n - 1) (n - 2) … (n - r + 1)(n - r) (n - r - 1) . . . 3 × 2 × 1}{(n - r) (n - r - 1) . . . 3 × 2 × 1}

norte PAG r = norte! / (n – r)!

Esto deriva la fórmula para el número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, tal que 0 < r ≤ n.

¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 5 elementos de 8?

Solución:

Tenemos, n = 8 y r = 5.

Caso 1: Si se permite la repetición

No de permutaciones = n r

= 8 5

= 8 × 8 × 8 × 8 × 8

= 32768

Caso 2: Si no se permite la repetición

Aquí, el número de permutaciones está dado por, 

8 P 5 = 8!/(8 – 5)!

= 8!/3!

= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)

= 8 × 7 × 6 × 5 × 4

= 6720

Problemas similares

Problema 1. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 4 de 10?

Solución:

Tenemos, n = 10 y r = 4.

Caso 1: Si se permite la repetición

No de permutaciones = n r

= 10 4

= 10 × 10 × 10 × 10

= 10000

Caso 2: Si no se permite la repetición

Aquí, el número de permutaciones está dado por, 

10 P 4 = 10!/(10 – 4)!

= 10!/6!

= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

= 10 × 9 × 8 × 7

= 5040

Problema 2. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar muestreando 3 de 7?

Solución:

Tenemos, n = 7 y r = 3.

Caso 1: Si se permite la repetición

No de permutaciones = n r

= 7 3

= 7 × 7 × 7

= 343

Caso 2: Si no se permite la repetición

Aquí, el número de permutaciones está dado por, 

7 P 3 = 7!/(7 – 3)!

= 7!/4!

= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1)

= 7 × 6 × 5

= 210

Problema 3. Encuentra el número de formas diferentes en que se pueden formar las letras de la palabra “MATHS” si no se permite la repetición.

Solución:

La palabra “MATEMÁTICAS” tiene 5 letras. Entonces, el valor de n es 5.

Ahora las diferentes formas en que se pueden formar las letras de la palabra “MATHS” viene dada por,

N = n!

= 5!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 120

Problema 4. Calcula las palabras únicas de 3 letras que se pueden formar usando la palabra “JACKPOT”.

Solución:

La palabra “BOTE” tiene 6 letras. Entonces, el valor de n es 6. Aquí, r = 3.

Entonces, el número de permutaciones está dado por,

6 P 3 = 6!/(6 – 3)!

= 6!/3!

= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)

= 6 × 5 × 4

= 120

Problema 5. Calcula las palabras únicas de 4 letras que se pueden formar usando la palabra “DEPÓSITO”.

Solución:

La palabra “DEPÓSITO” tiene 7 letras. Entonces, el valor de n es 7. Aquí, r = 4.

Entonces, el número de permutaciones está dado por,

7 P 4 = 7!/(7 – 4)!

= 7!/3!

= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)

= 7 × 6 × 5 × 4

= 840

Problema 6. ¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar a partir del número “12345678”?

Solución:

El número “12345678” tiene 8 dígitos. Entonces, el valor de n es 8. Aquí, r = 5.

Entonces, el número de permutaciones está dado por,

8 P 5 = 8!/(8 – 5)!

= 8!/3!

= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)

= 8 × 7 × 6 × 5 × 4

= 6720

Problema 7. Calcular las palabras únicas de 5 letras que se pueden formar con la palabra “HERMOSA”.

Solución:

La palabra “HERMOSA” tiene 9 letras. Entonces, el valor de n es 9. Aquí, r = 5.

Entonces, el número de permutaciones está dado por,

9 P 5 = 9!/(9 – 5)!

= 9!/4!

= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1)

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5

= 15120

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por jatinxcx y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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