¿Cuántas strings binarias de longitud 5 tienen exactamente dos 1 en algún lugar de la string?

Las permutaciones son las múltiples configuraciones de un número determinado de componentes, ya sea eligiendo uno tras otro, parte de ellos o todos a la vez. Son el proceso de asignar una secuencia lineal a los constituyentes de una serie. El proceso de reordenar los elementos de una secuencia o serie en particular también se conoce como reordenamiento. Para decirlo de otra manera, permutar una secuencia implica hacer una lista de todos los arreglos alternativos para esa secuencia. Por ejemplo, la secuencia 1, 2 se puede expresar de dos maneras diferentes: 1, 2 o 2, 1.

Fórmula de permutación

Cuando r número de elementos se organizan a partir de n elementos en una secuencia particular, el número de permutaciones es,

_norte PAG ^r = norte! / (n – r)!

Por ejemplo, sea n = 5 y r = 2. ¡El número de permutaciones es ⁵ P ₂ = 5! / (5 – 2)! = 20.

combinaciones

Se describe como el proceso de elegir uno, dos o unos pocos elementos de una secuencia dada, independientemente del orden en que aparezcan. Si elige dos componentes de una serie que solo contiene dos elementos, para empezar, el orden de esos elementos no importará.

Fórmula de combinación

Cuando se eligen r elementos de n elementos en una secuencia, el número de combinaciones es

norte C ^r = norte _! / r! (n – r)!

Por ejemplo, sea n = 5 y r = 2, entonces el número de formas de elegir dos componentes de un conjunto de cinco = ⁵ C ₂ = 5! / 2! (5 – 2)! = 10.

Vale la pena mencionar que si se va a obtener un número r de combinaciones de una colección de n componentes, y tales elementos se pueden repetir, entonces ^n+r−1 C _r = ^n+r−1 C _n−1 .

¿Cuántas strings binarias de longitud 5 tienen exactamente dos 1 en algún lugar de la string?

Solución:

Tenga en cuenta que el orden de los bits no es importante en este caso porque nos preocupa el número de unos en dicha string y no su orden. Por lo tanto, necesitamos aplicar el concepto de combinaciones para encontrar el valor requerido.

Aquí, n = 5 y r = 2.

C(5, 2) = 

= 10

Entonces, hay strings de 10 bits de longitud 5 con exactamente dos 1 en ellas.

Problemas similares

Pregunta 1. Indique el número de formas para asignar 7 estudiantes en un viaje universitario dado que tenemos 1 habitación triple y 2 dobles.

Solución:

Este problema se puede interpretar como tener que poner a los 7 estudiantes en grupos de 3, 2 y 2.

Número de formas de elegir 3 estudiantes en el triple = 7C3 = 7! / 3!4! = 35  

Número de formas de elegir 2 de los 4 estudiantes restantes = 4C2 = 4!/ 2!2! = 6

Número de formas de elegir 2 estudiantes de los dos estudiantes restantes = 1

Número total de arreglos = 35 × 6 × 1 = 210.

Por lo tanto, se pueden asignar 7 estudiantes a 1 habitación de hotel triple y 2 dobles durante una conferencia de 210 maneras.

Pregunta 2. Encuentre el número de formas en que se puede formar un comité de cinco personas si se van a seleccionar de un grupo de 7 hombres y 6 mujeres, para tener al menos 3 hombres allí.

Solución:

Al menos tres hombres en el comité significa que podemos tener exactamente tres, cuatro o los cinco hombres en el comité.

Número de arreglos cuando hay 3 hombres y 2 mujeres en el comité = (7C3 x 6C2) = 525

Número de arreglos cuando hay 4 hombres y 1 mujer en el comité = (7C4 x 6C1) = 210

Número de arreglos cuando hay 5 hombres en el comité = (7C5) = 21

Arreglos totales = 525 + 210 + 21

= 756

Pregunta 3. ¿Encuentre el número de arreglos de las letras de la palabra ‘LEADING’ donde las vocales siempre aparecen juntas?

Solución:

Si las vocales van a aparecer juntas, formarían una letra separada en la palabra. Por lo tanto, nos quedan 4 + 1 = 5 letras, ¡que se pueden organizar en 5! = 120 maneras.

Además, ¡hay 3! = 6 formas de ordenar las vocales juntas.

Número total de formas de ordenar las letras = 120 x 6 = 720.

Pregunta 4. Encuentra el número de palabras que tienen 4 consonantes y 3 vocales que se pueden formar a partir de 8 consonantes y 5 vocales.

Solución:

Número de formas de seleccionar 4 consonantes de 8 y 3 vocales de 5 = 8C4 x 5C3

= 

= 70 × 10 = 700

¡Número de formas de ordenar las 7 letras entre sí = 7! = 5040

Número de palabras que se pueden formar = 5040 × 700 = 3528000.

Pregunta 5. ¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con la palabra ‘GEEKSFORGEEKS’ si no se permite la repetición?

Solución:

Ya que hay 7 letras diferentes en la palabra ‘GEEKSFORGEEKS’

Número requerido de palabras = 7P4

= 7! / 3!

= 840

Pregunta 6. Encuentra el número de combinaciones que contiene una alcancía, de cinco, diez y veinticinco centavos dado que tiene 20 monedas.

Solución:

Claramente, el orden de las monedas no importa en esta pregunta. Tampoco se menciona si la repetición está permitida o no.

Siguiendo la regla, hay en el caso de r número de combinaciones de una secuencia que tiene n número de elementos donde los elementos se pueden repetir n+r−1Cr = n+r−1Cn−1, tenemos:

Número de combinaciones = 20+3-1C20 = 22C20

= 22! / (22 – 20)! 20!

= 11 × 21

= 231