Declaraciones – Razonamiento Matemático

El estudio de la lógica a través de símbolos matemáticos se denomina razonamiento matemático. La lógica matemática también se conoce como lógica booleana. O en otras palabras, en el razonamiento matemático, determinamos el valor de verdad del enunciado. El razonamiento matemático es de siete tipos, es decir, intuición, pensamiento contrafáctico, pensamiento crítico, inducción hacia atrás, razonamiento inductivo, razonamiento deductivo e inducción abductiva. De estos 7 tipos, los siguientes dos tipos son los tipos principales:

• Razonamiento inductivo: en este tipo de razonamiento, la validez de la declaración se verifica utilizando un conjunto de reglas y luego se generaliza la declaración dada. O dicho de otro modo, el razonamiento inductivo es un razonamiento no riguroso, en el que se generalizan los enunciados.
• Razonamiento deductivo: es un razonamiento riguroso, en el que se supone que las afirmaciones son verdaderas si las suposiciones que entran en la deducción son verdaderas. En matemáticas, el razonamiento deductivo es más importante que el razonamiento inductivo.

Declaraciones en lógica matemática

Una oración es un enunciado si es correcta o incorrecta o verdadera o falsa, pero nunca puede ser ambas cosas porque un enunciado que es tanto verdadero como falso no puede considerarse como tal y si un enunciado no es ni verdadero ni falso entonces también lo es. no puede ser considerado como una declaración. Los enunciados son la unidad básica del razonamiento. Por ejemplo, tenemos tres sentencias:

Oración 1: el día de la República es el 26 de enero

Oración 2: El peso de la hormiga es mayor que el peso del elefante. 

Entonces, al leer estas declaraciones, inmediatamente concluimos que la oración 1 es verdadera y la oración 2 es falsa. Por lo tanto, estas oraciones se aceptan como declaraciones porque son verdaderas o falsas, no son ambiguas. En el razonamiento matemático, hay dos tipos principales de declaraciones presentes:

• Enunciado simple: Los enunciados simples son aquellos cuyo valor de verdad no depende explícitamente de otro enunciado. Son directos y no incluyen ningún modificador.

Ejemplo:

‘364 es un número par’

• Declaración compuesta: cuando dos o más declaraciones simples se combinan usando las palabras ‘y’, ‘o’, ‘si… entonces’ y ‘si y solo si’, la declaración resultante se conoce como declaración compuesta. ‘y’, ‘o’, ‘si…entonces’ y ‘si y solo si’ también se denominan conectores lógicos.

Ejemplo:

 ‘Estoy estudiando psicología e historia’.

Operación elemental de la lógica:

• Conjunción: cuando se crea una declaración compuesta usando ‘y’ se conoce como conjunción.

un ^ segundo

Aquí, a y b son dos declaraciones simples.

• Disyunción: cuando se crea una declaración compuesta usando ‘o’ se conoce como disyunción.

avb

Aquí, a y b son dos declaraciones simples.

• Declaración condicional: cuando se crea una declaración mediante la conexión de dos declaraciones simples que usan ‘si … entonces’ se conoce como declaración condicional.

un → segundo

Aquí, a y b son dos declaraciones simples.

• Declaración bicondicional: cuando se crea una declaración mediante la conexión de dos declaraciones simples usando ‘si y solo si’ se conoce como declaración bicondicional.

un ↔ segundo

Aquí, a y b son dos declaraciones simples.

• Negación: cuando se crea una declaración usando palabras como ‘no’, ‘no’ se conoce como negación.

~ un

Ejemplos:

¿Son afirmaciones las siguientes oraciones? responder en verdadero o falso

(yo) ”7 + 5 = 19” 

Esta afirmación se considerará falsa porque la adición no es correcta.

(ii) “el clima de hoy es muy agradable” 

Esta afirmación no es verdadera ni falsa porque si el clima le parece agradable a una persona, no significa que todas las personas compartirán la misma opinión.

(iii) ” 2 + 5 – 3 + 2 = 6 ” 

Esta afirmación se considerará verdadera porque la ecuación es correcta.

(iv) duro es muy agradable

Falso, porque esta es una opinión de una persona y las opiniones pueden variar.

(v) 7 + 5 = 21

Falso, esto calculará a 12 pero la respuesta es 21 por lo que la respuesta es falsa.

Valor de una declaración:

Una declaración si es correcta o incorrecta o verdadera o falsa. El estado verdadero o falso de un enunciado se conoce como valor de verdad. Si el enunciado es falso se determina como ‘F’ y si el enunciado es verdadero se determina como ‘T’.

Ejemplo:

(i) ‘364 es un número par’ es T porque esta afirmación es verdadera.

(ii) ’71 es divisible por 2′ es F porque esta afirmación es falsa.

Mesa de la verdad:

Como sabemos que una afirmación puede ser verdadera o falsa y estos valores se conocen como valores de verdad. Entonces, una tabla de verdad es un resumen de los valores de verdad del enunciado resultante para todos los En el caso de n número de enunciados, hay 2 ⁿ distintos arreglos posibles de valores de verdad en la tabla de enunciados. En la tabla de verdad, cuando el enunciado compuesto es verdadero para cada condición, se conoce como tautología, y cuando el enunciado compuesto es falso para cada condición, se conoce como falacia.

Ejemplo:

La tabla de verdad para una declaración ‘p’ se escribirá como:

pags

T

F

La tabla de verdad de dos enunciados ‘p’ y ‘q’ se tomará como:

pags	q	pag^q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Nuevas declaraciones a partir de declaraciones antiguas

En el razonamiento matemático, se crea un nuevo enunciado a partir del enunciado anterior mediante la negación del enunciado anterior.

Negación de declaraciones:

Si ‘p’ es un enunciado, la negación del enunciado se conoce como negación. La negación de un enunciado se denota poniendo un ‘~’ delante del enunciado; la negación de ‘p’ es ‘~p’. Este símbolo se define como que cuando se niega un símbolo, se inserta la palabra ‘no’ en la declaración, o podemos comenzar la declaración diciendo ‘Es falso que…’

Ejemplo:

La tabla de verdad quedará como:

pags	~ pag
T	F
F	T

Negación de enunciados compuestos: cuando dos o más enunciados simples se combinan usando las palabras ‘y’, ‘o’, ‘si… entonces’ y ‘si y solo si’, el enunciado resultante se conoce como enunciado compuesto. Entonces, para negar una declaración compuesta, usamos palabras ‘no’. Por ejemplo, para negar un enunciado de la forma «Si P, entonces Q», debemos reemplazarlo con el enunciado «P y no Q».

Leyes de DeMorgan: negar enunciados compuestos

∼(p ^ q) ↔ (∼p ∨ ∼q)

∼(p ∨ q) ↔ (∼p ^∼q)

(i) Negar la conjunción y la disyunción

∼(p ^ q) ↔ (∼p ∨ ∼q)

∼(p ∨ q) ↔ (∼p ^∼q)

Ejemplos: 

(i) p ^ q = compraré bocadillos y dulces

∼(p ^ q) = No compraré snacks ni dulces

(ii) pvq = lo haré pero auriculares o audífonos

∼(pvq) = no se da el caso de que vaya a comprar auriculares o auriculares.

(iii) Negar (p ^ q) usando tablas de verdad:

pags	q	(p ^ q)	∼(p ^ q)
T	T	T	F
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	T

(ii) Negar una declaración condicional

∼(p → q) = (p ∧ ∼q)

Ejemplo:

p → q = si llueve hoy entonces iré a la escuela 

∼(p → q) – no es que si llueve hoy, entonces iré a la escuela

(iii) Negar una declaración bicondicional

∼(pag ↔ q) ↔ [(pag ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)]

Ejemplos: 

Pregunta 1: Considere las siguientes declaraciones niegue las siguientes declaraciones

P: Vidas duras es Delhi

P: lo duro es rico

R: duro es emocionalmente fuerte

Solución: 

∼(Q ↔ (P ^ ∼R)

áspero vive en Delhi y no es emocionalmente fuerte si y sólo si áspero es rico.

Pregunta 2. p y q son dos enunciados, entonces ¿cuál será (p ⇒ q) ⇔ (~q ⇒ ~p) mostrar el resultado en forma de tabla de verdad.

Solución:

p⇒q	∼p⇒∼q	p⇒q⇔∼q⇒∼p
F	T	F
T	F	F
T	F	F
F	T	F

Por lo tanto, es una falacia.