Prueba: Por qué la probabilidad del complemento de A es igual a uno menos la probabilidad de A [ P(A’) = 1-P(A) ]

Probabilidad de la

• Evento aleatorio:
  si la repetición de un experimento ocurre varias veces en condiciones similares, si no produce el mismo resultado cada vez, pero el resultado de una prueba es uno de los varios resultados posibles, entonces dicho experimento se denomina evento aleatorio. o un evento probabilístico.
• Espacio de
  muestra: el espacio de muestra se refiere al conjunto de todos los resultados posibles de un evento aleatorio. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda, los posibles resultados son cara y cruz.
• Evento :
  un evento se refiere al subconjunto del espacio muestral asociado con un evento aleatorio.
• Ocurrencia de un evento :
  se dice que ocurre un evento asociado con un evento aleatorio si cualquiera de los eventos elementales que le pertenecen es un resultado.
• Complemento –
  En conjuntos, el complemento de un conjunto, A es el conjunto de todos los elementos que no están presentes en A. Se denota por A’ o A ^c . Por ejemplo, en un experimento de lanzar un dado, si A es el conjunto de todos los resultados pares, entonces A’ es el conjunto de todos los resultados impares.
• Eventos mutuamente excluyentes : 
  se dice que dos o más eventos asociados con un evento aleatorio son eventos mutuamente excluyentes. Si cualquiera de los eventos ocurre, previene la ocurrencia de todos los demás eventos. Esto significa que no pueden ocurrir dos o más eventos simultáneamente al mismo tiempo.

If A and B are mutually exclusive events, then
A ∩ B = ∅
Also, P(A ∩ B) = 0

Axiomas de probabilidad:

1. Para cualquier conjunto A, la probabilidad de A siempre será mayor o igual a cero, es decir, P(A) >=0
2. La probabilidad del espacio muestral (S) siempre será igual a uno, es decir, P (S) = 1.
3. Si A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ … _AN son eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión de estos eventos mutuamente excluyentes será igual a la suma de la probabilidad de estos eventos mutuamente excluyentes, es decir, P(A ₁ ∪ UN ₂ ∪ UN ₃ ∪ UN ₄ ∪ …. UN _N ) = P(A ₁ ) + P(A ₂ ) + P(A ₃ ) + P(A ₄ ) + …. + P( _AN )

Declaración del problema:
¿Por qué la probabilidad del complemento de A es igual a uno menos la probabilidad de A?

Solución:
Comencemos con la prueba del enunciado del problema anterior. A continuación se muestran los pasos para la prueba:

1. Considere un evento, A. Ya que el espacio muestral de un experimento contiene todos los resultados posibles de un experimento y la unión de A y A’ comprende todos los resultados posibles del experimento. Entonces, el espacio muestral se puede escribir como:

S = A ∪ A'
Also, P(S) = P(A ∪ A') --- (1)

2. Dado que la intersección de A y A’ es igual a ∅, se puede decir que A y A’ son eventos mutuamente excluyentes. Entonces, de acuerdo con el axioma 3,

Since, A ∩ A' = ∅
P(A ∪ A') = P(A) + P(A') --- (2)

3. Ahora, a partir de la ecuación (1) y (2), se puede escribir como-

P(S) = P(A) + P(A')

4. Del axioma 2, se sabe que la probabilidad de un espacio muestral siempre es igual a 1, es decir 

P(S) = 1
P(A) + P(A') = 1 --- (3)

5. Después de reorganizar la ecuación (3), se obtiene la siguiente ecuación:

P(A') = 1 - P(A)

es decir, la probabilidad del complemento de A es igual a uno menos la probabilidad de A. Por lo tanto, Demostrado.

Ejemplos:
echemos un vistazo a algunos ejemplos resueltos relacionados con la prueba anterior:

1. Se lanza un dado una vez.

Evento A- Aparece un número par

Espacio muestral, S- {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

P(S) = 1

A = {2, 4, 6} es decir, P(A) = 3/6 = 1/2

A’ = {1, 3, 5} es decir, P(A’) =3/6 = 1/2

Ahora, podemos observar fácilmente que S = A ∪ A’ y como A ∩ A’ = ∅, 
A y A’ son eventos mutuamente excluyentes, lo que implica

PAG(S) = PAG(A ∪ A’)

P(S) = P(A) + P(A’) 

P(S) = 1/2 + 1/2

       = 1

P(A’) = 1 – P(A)

P(A’) = 1 – 1/2

P(A’) = 1/2

2.

Evento A- Aparecen dos cabezas

Espacio muestral, S- { HH, HT, TH, TT}  

P(S) = 1

A = {HH} es decir, P(A) =1/4

A’ = {HT, TH, TT} es decir, P(A’) =3/4

es decir, S = A ∪ A’ y como A ∩ A’ = ∅, podemos decir que A y A’ son 
eventos mutuamente excluyentes, lo que implica que –

PAG(S) = PAG(A ∪ A’)

P(S) = P(A) + P(A’) 

P(S) = 1/4 + 3/4

P(S) = 1

P(A’) = 1 – P(A)

P(A’) = 1 – 1/4

P(A’) = 3/4