Demostrar que cos θ/(1 + sen θ) = (1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ + sen θ)

La trigonometría es una disciplina de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas, también conocidas como funciones goniométricas, funciones angulares o funciones circulares, son funciones que establecen la relación entre un ángulo y la razón de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas principales son seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante.

Los ángulos definidos por las proporciones de las funciones trigonométricas se conocen como ángulos trigonométricos. Los ángulos trigonométricos representan funciones trigonométricas. El valor del ángulo puede estar entre 0 y 360°.

Como se indica en la figura anterior en un triángulo rectángulo:

• Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, es el lado más largo en un triángulo rectángulo y opuesto al ángulo de 90°.
• Base: El lado sobre el que se encuentra el ángulo C se conoce como base.
• Perpendicular: Es el lado opuesto al ángulo C en consideración.

Funciones trigonométricas

La trigonometría tiene 6 funciones trigonométricas básicas, son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Ahora veamos las funciones trigonométricas. Las seis funciones trigonométricas son las siguientes,

seno: Se define como la relación entre la perpendicular y la hipotenusa y se representa como sen θ

coseno: Se define como la relación entre la base y la hipotenusa y se representa como cos θ

tangente: Se define como la relación entre el seno y el coseno de un ángulo. Así, la definición de tangente resulta ser la relación entre la perpendicular y la base y se representa como tan θ

cosecante: Es el recíproco de sen θ y se representa como cosec θ.

secante: Es el recíproco de cos θ y se representa como sec θ.

cotangente: Es el recíproco de tan θ y se representa como cot θ.

razones trigonométricas

Sin θ = Perpendicular / Hipotenusa = AB/AC

Coseno θ = Base / Hipotenusa = BC/AC

Tangente θ = Perpendicular / Base = AB/BC

Cosecante θ = Hipotenusa / Perpendicular = AC/AB

Secante θ = Hipotenusa / Base = AC/BC

Cotangente θ = Base / Perpendicular = BC/AB

Identidades recíprocas

Sin θ = 1/ Cosec θ O Cosec θ = 1/Sen θ

Cos θ = 1/ Sec θ O Sec θ = 1/Cos θ

Cot θ = 1/Tan θ O Tan θ = 1/Cot θ

Cot θ = Cos θ/Sen θ O Tan θ = Sin θ/Cos θ

Tan θ.Cot θ = 1

Identidades trigonométricas de ángulos complementarios y suplementarios

• Ángulos Complementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 90°
• Ángulos Suplementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 180°

Las identidades de los ángulos complementarios son

sen (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sen θ

bronceado (90° – θ) = cuna θ

cuna (90° – θ) = tan θ

segundo (90° – θ) = cosegundo θ

cosec (90° – θ) = sec θ

Identidades de ángulos suplementarios

sen (180° – θ) = sen θ

coseno (180° – θ) = – coseno θ

bronceado (180° – θ) = – bronceado θ

cuna (180° – θ) = – cuna θ

segundo (180° – θ) = – segundo θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

Demostrar que cos θ/(1 + sen θ) = (1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ + sen θ)

Solución:

Tenemos cos θ/(1 + sen θ) = (1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ + sen θ)

Primero tomaremos LHS = cos θ/(1 + sin θ)

= {[cos θ/(1 + sen θ)] × [(1-sen θ)/(1-sen θ)]}

= [cos θ(1-sen θ)]/(1- sen ² θ)

= [cos θ(1-sen θ)]/ cos ² θ { 1- sen ² θ = cos ² θ }

= (1-sen θ) / cos θ

= (1/ cos θ) – (sen θ/cos θ)

LHS = sec θ – tan θ

Ahora

RHS = (1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ + sen θ)

= [(1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ + sen θ) × (1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ – sen θ)]

= [(1 + cos θ – sen θ) ² ] /[(1 + cos θ) ² + (sen θ) ² ]

= [(1 + cos θ) ² + sen ² θ – 2 (1 + cos θ)(sen θ) ]/(1 + cos ² θ + 2cos θ – sen ² θ)

= [(1 + cos ² θ + sen ² θ + 2 cos θ – 2 (1+ cos θ)(sen θ)]/[1+ cos ² θ + 2 cos θ -(1-cos ² θ)] {… 1- cos ² θ = sen ² θ}

= [2 +2 cos θ – 2 (sen θ) (1 + cos θ) ]/[1 + cos ² θ + 2cos θ – 1 + cos ² θ] {sen ² θ + cos ² θ = 1}

= [2 + 2cos θ – 2sen θ (1 + cos θ)]/[2cos ² θ + 2cos θ]

= [2 + 2cos θ – 2sen θ (1 + cos θ)] / [2 cos θ (cos θ +1)]

= [2 (1 + cos θ) – 2 sen θ (1 + cos θ)] / [2 cos θ (cos θ +1)]

= [2 (1 + cos θ) (1 – sen θ)]/[2 cos θ (cos θ +1)]

= (1 – sen θ) / cos θ

= (1/ cos θ) – (sen θ/ cos θ)

RHS = sec θ – tan θ

Por lo tanto LHS = RHS

cos θ/(1 + sen θ) = (1 + cos θ – sen θ)/(1 + cos θ + sen θ)

Por lo tanto probado

Preguntas similares

Pregunta 1: Si x sen ³ θ + y cos ³ θ = sen θ cos θ y x sen θ – y cos θ = 0, entonces demuestre que x ² + y ² = 1, (donde, sen θ ≠ 0 y cos θ ≠ 0).

Solución:

aquí tenemos, x sen ³ θ + y cos ³ θ = sen θ cos θ

Dado: x sen ³ θ + y cos ³ θ = sen θ cos θ

⇒ (x sen θ) sen ² θ + (y cos θ) cos ² θ = sen θ cos θ

⇒ (x sen θ) sen ² θ + (x sen θ) cos ² θ = sen θ cos θ (∵ y cos θ = x sen θ)

⇒ x sen θ(sen ² θ + cos ² θ) = sen θ cos θ (sen ² θ + cos ² θ = 1)

⇒ x sen θ = sen θ cos θ

⇒ x = cos θ ….(ecuación 1)

ahora otro trigono eq tenemos x sen θ – y cos θ = 0

podemos escribirlo como x sen θ = y cos θ

de la ecuación 1 tenemos x = cos θ así que ponlo arriba de la ecuación. x sen θ = y cos θ

entonces x sen θ = y cos θ

cos θ sen θ = y cos θ

y = sen θ eq. 2

ahora elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones 1 y 2

x = cos θ & y = sen θ

x ² = cos ² θ & y ² = sen ² θ

entonces ahora x ² + y ² = cos ² θ + sen ² θ { cos ² θ + sen ² θ = 1 }

x2 + ^y2 = ¹

Por lo tanto probado

Pregunta 2: Evaluar (Sen 30° – Sin 90° + 2 Cos 0°) / Tan 30° Tan 60°?

Solución:

Aquí tenemos (Sen 45° – Sin 90° + 2 Cos 0°) / Tan 45° Tan 60°

Según los valores trigonométricos

(Sen 45° – Sin 90° +2 Cos 0°) / Tan 45° Tan 60°

= (1/√2 – 1 + 2 × 1) / 1 × √3

= (1/√2 – 1 + 2) / √3

= (1/√2 + 1) / √3

= (1+√2 / √2) / √3