Demostrar que (sec A + tan A)(1 – sen A) = cos A

La trigonometría se basa en un buen conocimiento de la aritmética, la geometría y el álgebra. A lo largo de la historia, la trigonometría se ha aplicado en áreas como la navegación, en la medición de la altura de un edificio o de una montaña.

Supongamos que unos alumnos de una escuela están visitando un faro que se encuentra a un lado de la orilla de un río. Desde el punto del otro lado de la orilla, exactamente opuesto, si un estudiante mira hacia la parte superior del faro, se forma un triángulo rectángulo. ¿Puede el alumno averiguar la altura del faro sin medirlo realmente?
Suponga que usted es un fotógrafo profesional y le gusta medir características particulares dentro de una imagen. Suponga que hay un modelo de cohete que alcanzará cierta altitud y desea instalar su cámara a cierta distancia de la plataforma de lanzamiento. ¿Se puede encontrar el ángulo en el que coloca la cámara para obtener una imagen del modelo de cohete a la máxima altitud?
Un buen día, una niña está en el parque y un globo aerostático está volando en el aire a cierta altura del suelo. La niña de repente vio el globo en un punto A y se emocionó. Después de algún tiempo, el globo se mueve en la misma dirección horizontal hasta cierta distancia y está en el punto B. Tenía curiosidad por saber la altitud del globo de aire caliente en el punto B desde el suelo.

En todos los casos anteriores, la distancia, así como la altura, se pueden encontrar utilizando algunas técnicas matemáticas conocidas como trigonometría .

Identidades trigonométricas

En matemáticas, una identidad es una ecuación que es verificable para todos y cada uno de los valores de las variables. De manera similar, las identidades trigonométricas son las ecuaciones que involucran funciones trigonométricas que se cumplen para cada valor de las variables seleccionadas.

Las seis razones trigonométricas

seno
coseno
tangente
cosecante
secante, y
cotangente.

Todas estas razones trigonométricas se obtienen usando los lados del triángulo rectángulo, como la base, la perpendicular y la hipotenusa.

sen θ= perpendicular / hipotenusa
cos θ= base / hipotenusa
tan θ= perpendicular / base
cosec θ= hipotenusa / perpendicular
sec θ= hipotenusa / base
cuna θ= base / perpendicular

Nemónicos para las relaciones anteriores

Algunas (sin θ) personas (perpendiculares) tenían (hipotenusa) cabello rizado (cos θ) negro (base) (hipotenusa) tornado (bronceado θ) permanentemente (perpendicular) castaño (base).

Aprendamos sobre cada tipo de identidades trigonométricas en detalle. Observe las relaciones anteriores:

sen θ = 1/cosegθ o, cosec θ = 1/senθ
cos θ = 1/segθ o, sec θ = 1/cosθ
tan θ = 1/cotθ o, cot θ = 1/tanθ

Estas identidades anteriores se conocen como identidades trigonométricas recíprocas y

tan θ = sen θ /cos θ
cot θ = cos θ /sen θ

Este tipo de identidades se conocen como identidades trigonométricas de razón.

Identidades trigonométricas pitagóricas

Del teorema de Pitágoras que se ha aprendido en clases anteriores, En un triángulo rectángulo,

Perpendicular ² + Base ² = Hipotenusa ²

Ahora dividiendo ambos lados por la Hipotenusa ² en ambos lados,

Perpendicular ² / Hipotenusa ² + Base ² / Hipotenusa ² = Hipotenusa ² / Hipotenusa ²

Como se sabe,

sen θ = perpendicular/hipotenusa;

cos θ = base/hipotenusa

Por lo tanto,

sen ² θ + cos ² θ = 1

Las otras dos identidades trigonométricas pitagóricas son las que se pueden derivar de la misma manera:

1 + bronceado ² θ = segundo ² θ
1 + cuna ² θ = cosec ² θ

Existe otro tipo de identidad que se conoce como Identidades Trigonométricas Complementarias y Suplementarias. Aprendamos al respecto,

Identidades trigonométricas complementarias y suplementarias

Por la definición de ángulo complementario, sabemos que cuando la suma de dos ángulos es igual a 90°, ese par de ángulos se conoce como ángulo complementario. Por lo tanto,

sen (90°- θ) = cos θ
coseno (90°- θ) = sen θ
cosec (90°- θ) = sec θ
segundo (90°- θ) = cosegundo θ
bronceado (90°- θ) = cuna θ
cuna (90°- θ) = tan θ

De manera similar, cuando la suma de dos ángulos es igual a 180°, ese par de ángulos se conoce como ángulos suplementarios. Así que las identidades suplementarias son las siguientes:

sen (180°- θ) = senθ
cos (180°- θ) = -cos θ
cosec (180°- θ) = cosec θ
segundo (180°- θ) = -segundo θ
tan (180°- θ) = -tan θ
cuna (180°- θ) = -cot θ

Las identidades trigonométricas de suma y diferencia constituyen una parte importante de la identidad trigonométrica.

sen (A+B) = sen A cos B + cos A sen B
sen (AB) = sen A cos B – cos A sen B
cos (A+B) = cos A cos B – sen A sen B
cos (AB) = cos A cos B + sen A sen B
tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
tan (AB) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Identidades trigonométricas de ángulos dobles, medios y triples

Fórmulas de doble ángulo ⇢ De las fórmulas de suma y diferencia anteriores:

sen (A+B) = sen A cos B + cos A sen B

Reemplazando, A = B = θ,

sen (θ + θ) = senθ cosθ + cosθ senθ

sen 2θ = 2senθcosθ

Las otras fórmulas de doble ángulo son:

cos 2θ = cos ² θ – sen ² θ

= 2 cos ² θ – 1

= 1 – 2sen ² θ

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² θ )

Fórmulas de medio ángulo ⇢ De las fórmulas de doble ángulo anteriores tenemos,

cos 2θ = 1 – 2 sen ² θ

o bien, 2 sen ² θ = 1- cos 2θ

o bien, sen ² θ = (1 – cos2θ)/(2)

o bien, senθ = ±√[(1 – cos 2θ)/2]

Sustituyendo θ por θ/2 en ambos lados,

sen (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

Las otras fórmulas de medio ángulo son:

coseno (θ/2) = ±√(1 + cosθ)/2
tan (θ/2) = ±√[(1 – cosθ)(1 + cosθ)]

Fórmulas de ángulo triple ⇢ De nuevo a partir de las fórmulas de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de ángulo triple,

sen3θ = sen(2θ + θ)

= sen2θcosθ + cos2θsenθ

= (2senθcosθ)cosθ + (1 – 2sen2θ)senθ

= 2senθcos2θ + senθ – 2sen3θ

= 2senθ(1 – sen2θ) + senθ – 2sen3θ

= 2sinθ – 2sin3θ + sinθ – 2sin3θ

= 3 senθ – 4 sen ³ θ

Las otras fórmulas de triple ángulo son:

cos3θ = 4cos ³ θ – 3cosθ
sen3θ = 3senθ – 4 sen ³ θ
tan3θ = 3tanθ – tan ³ θ/1- 3tan ² θ

Hay algunas otras identidades que no se derivan del ángulo recto. Uno de ellos es la regla de las identidades trigonométricas del seno y el coseno. Para un triángulo con lados ‘a’, ‘b’ y ‘c’ y los respectivos ángulos opuestos del triángulo son A, B y C, la regla del seno se puede dar como:

a/sen A = b/sen B = c/sen C
sen A/a = sen B/b = sen C/c
a/b = sen A/sen B
a/c = sen A/sen C
b/c = sen B/sen C

La regla del coseno para un triángulo con lados ‘a’, ‘b’ y ‘c’ y los respectivos ángulos opuestos son A, B y C se puede dar como,

a ² = b ² + c ² – 2bc × cosA
b2 ⁼ c2 ⁺ a2 – 2ca × ^cosB
c ² = a ² + b ² – 2ab × cos C