El propio nombre de la trigonometría dice que es un tema que trata sobre la geometría de los triángulos y es muy útil para situaciones en las que se necesita saber cuándo hay algunos lados dados y necesitamos las relaciones entre los lados o los ángulos entre los lados. En trigonometría tenemos diferentes razones que son sen A, cos A, tan A, cot A, sec A, cosec A con la ayuda de las cuales se puede obtener la relación entre los lados y el ángulo entre los lados del triángulo.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas definen la relación entre los lados y los ángulos y los ejemplos son sin A, cos A, tan A, cot A, sec A, cosec A. La relación entre diferentes funciones trigonométricas es una identidad trigonométrica . Las identidades son muy útiles para probar la desigualdad en las ecuaciones trigonométricas. Los ejemplos son,
- Tan A = sen A/cos A
- sen A = 1/coseg A
- cos A = 1/seg A
- Tan A = 1/cuna A
Demostrar que (1 – sen A)/(1 + sen A) = (sec A – tan A)²
Hay identidades básicas que se requieren para resolver el enunciado del problema anterior, veamos algunas de las identidades básicas de las 6 funciones trigonométricas que se requieren en este caso,
Requisitos previos Identidades utilizadas en la prueba
- sen 2 A + cos 2 A = 1
1 – sen 2 A = cos 2 A - tan A = sen A/cos A
- segundo A = 1/cos A
- sen A = 1/coseg A
- (a – b) 2 = un 2 – 2 × un × segundo + segundo 2
- a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)
- (a – b)/c = a/c – b/c
- sen 2A = 2 × sen A × cos A
Ecuación trigonométrica dada
(1 – sen A)/(1 + sen A) = (seg A – tan A) 2
IZQ = (1 – sen A)/(1 + sen A)
RHS = (seg A – tan A) 2
Prueba derivada del lado LHS
Dado LHS
(1 – sen A)/(1 + sen A)
Paso 1
Multiplicando con (1 – sin A)/(1 – sin A) que es igual a 1 para traer el grado de 2 que está presente en RHS.
(1 – sen A)(1 – sen A)/(1 + sen A) (1 – sen A)
=(1 – sen A) 2 /(1 – sen 2 A)
Paso 2
Expandiendo el numerador (1 – sinA) 2
=(1 – 2 × sen A + sen 2 A)/cos 2 A
Paso 3
Rompiendo la ecuación en el paso 2 en forma general
=(1/cos 2 A) – 2(sen A/cos A)(1/cos A) + (sen 2 A/cos 2 A)
Paso 4
Sustituyendo con fórmulas estándar en la ecuación obtenida en el paso 3
=(seg 2 A) – 2(tan A) × (seg A) + tan 2 A
=(seg A – Tan A) 2
Del paso 4 se puede concluir que LHS = (sec A – Tan A) 2 que es igual a RHS y, por lo tanto,
(seg A – Tan A) 2 = (seg A- Tan A) 2
LHS = RHS
Por lo tanto Probado.
Derivación de la prueba del lado derecho
dado derecho
(seg A – Tan A) 2
Paso-1 Simplificar la ecuación sustituyendo fórmulas estándar
=((1/cos A) – ( sen A/cos A)) 2
=((1 – sen A)/cos A) 2
Paso 2 Simplificando el denominador
=((1 – sen A)(1 – sen A))/(1 – sen 2 A)
=((1 – sen A)(1 – sen A))/( (1 – sen A)(1 + sen A))
Paso 3
(1 – sen A) en el numerador y el denominador de la ecuación en el paso 2 se cancela, por lo que se convierte en
=(1 – sen A)/(1 + sen A)
Del paso 3 se puede concluir que RHS = (1 – sin A)/(1+ sin A) que es igual a LHS y por lo tanto,
(1 – sen A)/(1 + sen A)=(1 – sen A)/(1 + sen A)
LHS = RHS
Por lo tanto Probado.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Resuelve la identidad trigonométrica: ((cosec A – 1)/(cosec A+1)) × ((1 – sin 2 A)/(1 – sinA) 2 )
Solución:
- Usando la identidad 4 en la ecuación
= {((1/sen A) – 1)/((1/sen A) + 1)) × ((1 – sen 2 A)/(1 – sen A) 2 }
- Usando la identidad 1 en la ecuación
= ((1 – sen A)/(1 + sen A)) × ((cosA) 2 /(1 – sen A) 2 )
- Multiplicando y dividiendo por cos 2 A
= ((1 – sin A)/(1 + sin A)) × (1/(seg A – Tan A) 2 )
- Usando nuestra identidad derivada
= (seg A – Tan A) 2 x (1/(seg A – Tan A) 2 )
= 1
Pregunta 2: Resuelve la identidad trigonométrica: ((sec A/2) + 2sinA/2)/((sec A/2) – 2sinA/2) ) × (4/(sec A – Tan A) 2 )
Solución:
- Usando identidad-3
= 4 × ((1/(cos A/2) + 2sinA/2))/((1/(cos A/2) – 2sinA/2)) × (1/(seg A – Tan A) 2 )
- Usando la identidad-8
= 4 × ((1+ 2 sen A/2 × cos A/2)/(1 – 2 sen A/2 × cos A/2)) × (1/(seg A – Tan A) 2 )
= 4 × ((1 + sin A )/(1 – sin A)) × (1/(seg A – Tan A) 2 )
- Usando la identidad probada
= 4 × (seg A – Tan A) 2 × (1/(seg A – Tan A) 2 )
= 4
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Artículo escrito por lokeshpotta20 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA