La derivada de segundo orden se define como la derivada de la primera derivada de la función dada. La derivada de primer orden en un punto dado nos da información sobre la pendiente de la tangente en ese punto o la tasa de cambio instantánea de una función en ese punto. La derivada de segundo orden nos da la idea de la forma de la gráfica de una función dada. La segunda derivada de una función f(x) generalmente se denota como f”(x) . También se denota por D 2 y o y 2 o y” si y = f(x) .
Sea y = f(x)
Entonces, dy/dx = f'(x)
Si f'(x) es diferenciable, podemos diferenciar (1) nuevamente con x. Entonces, el lado izquierdo se convierte en d/dx(dy/dx) que se llama la derivada de segundo orden de y con x.
Ejemplo 1: Hallar d 2 y/dx 2 , si y = x 3 ?
Solución:
Dado que, y = x 3
Entonces, la primera derivada será
dy/dx = d/dx (x 3 ) = 3x 2
Nuevamente, derivaremos más para encontrar su
segunda derivada,
Por lo tanto, d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx)
= d/dx (3x 2 )
= 6x
Nota: d/dx (x n ) = nx n – 1 , donde n es la potencia elevada a x.
Ejemplo 2 : Encuentre d 2 y/dx 2 , si y = Asinx + Bcosx, ¿donde A y B son constantes?
Solución:
Dado que, y = Asinx + Bcosx
Entonces, la primera derivada será
dy/dx = d/dx (Asenx + Bcosx)
= A d/dx (senx) + B d/dx (cosx)
= A(cosx) + B(-senx)
= Acosx – Bsinx
Nuevamente, derivaremos más para encontrar su segunda derivada,
d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx)
= d/dx (Acosx – Bsinx)
= A d/dx (cosx) – B d/dx (senx)
= A(-senx) – B(cosx)
= -Asinx – Bcosx
= -(Asenx + Bcosx)
= -y
Nota:
d/dx (senx) = cosx
d/dx( cosx) = -senx
Ejemplo 3: y = logx, encuentre d 2 y/dx 2 ?
Solución:
Dado que, y = logx
Entonces la primera derivada será,
dy/dx = d/dx (logx)
= (1 / x)
Nuevamente, derivaremos más para encontrar su segunda derivada,
d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx)
= d/dx (1 / x) (de la primera derivada)
= -1 / x2
Ejemplo 4: y = e x sen5x, encuentre d 2 y/dx 2 ?
Solución:
Dado que, y = e x sen5x
Entonces la primera derivada será,
dy/dx = d/dx ( ex sen5x )
= e x d/dx (sin5x) + sin5x d/dx (e x ) (regla de la multiplicación)
= e x (cos5x . 5) + sen5x . e x
= e x (5cos5x + sen5x)
Nuevamente, derivaremos más para encontrar su segunda derivada,
d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx)
= d/dx (e x (5cos5x + sen5x))
= e x d/dx (5cos5x + sen5x) + (5cos5x + sen5x) d/dx(e x )
= e x (d/dx (5cos5x) + d/dx (sen5x)) + (5cos5x + sen5x) d/dx (e x )
= e x (5(-sen5x)5 + 5cos5x) + (5cos5x + sen5x)(e x )
= e x (-25sen5x + 5cos5x + 5cos5x + sen5x)
= e x (10 cos 5x – 24 sen 5x)
= 2e x (5cos5x – 12sen5x)
Nota: Regla de multiplicación de diferenciación
d(uv) / dx = (u. dv/dx) + (v. du/dx)
Derivadas de segundo orden de una función en forma paramétrica
Para calcular la segunda derivada de la función en forma paramétrica usamos dos veces la regla de la string. Por lo tanto, para encontrar la segunda derivada, encontramos la derivada con respecto a t de la primera derivada y luego dividimos por la derivada de x con respecto a t. Supongamos que x = x(t) y y = y(t), entonces su forma paramétrica en segundo orden:
Primera derivada: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
Segunda derivada: d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx)
= d/dt (dy/dx) / (dx/dt)
Nota: es totalmente incorrecto escribir la fórmula anterior como d 2 y/dx 2 = (d 2 y/dt 2 ) / (d 2x /dt 2 )
Ejemplo: si x = t + costo, y = sint, encuentre la segunda derivada.
Solución:
Dado que, x = t + costo y y = sint
primera derivada,
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
= (d/dt (sint)) / (d/dt (t + costo))
= (coste) / (1 – sint) —- (1)
segunda derivada,
d 2 y / dx 2 = d/dx (dy/dx)
= d/dx (coste / 1 – sint) —- (de la ecuación (1))
= d/dt (coste / 1 – sint) / (dx/dt) —- (regla de la string)
= ((1 – sint) (-sint) – cost(-cost)) / (1 – sint) 2 / (dx/dt) —- (regla del cociente)
= (-sint + sen 2 t + cos 2 t) / (1 – sen) 2 / (1 – sen)
= (-sint + 1) / (1 – sint) 3
= 1 / (1 – sint) 2
Nota:
1) Regla de diferenciación del cociente: dy/dx = v(du/dx) – u(dv/dx) / v 2
2) Regla de la string: dy/dx = (dy/du) . (du/dx)
Representación gráfica de derivadas de segundo orden
Gráficamente, la primera derivada representa la pendiente de la función en un punto, y la segunda derivada describe cómo cambia la pendiente sobre la variable independiente en el gráfico.
En este gráfico, la línea azul indica la pendiente, es decir, la primera derivada de la función dada. Por ejemplo, usamos la prueba de la segunda derivada para determinar el máximo, mínimo o punto de inflexión. La segunda derivada de una función dada corresponde a la curvatura o concavidad de la gráfica. Si el valor de la derivada de segundo orden es positivo, entonces la gráfica de una función es cóncava hacia arriba. Si el valor de la derivada de segundo orden es negativo, entonces la gráfica de una función está abierta hacia abajo.
Concavidad de función
Sea f(x) una función diferenciable en un intervalo adecuado. Entonces, la gráfica de f(x) se puede categorizar como:
Cóncavo hacia arriba: una sección de una curva es cóncava hacia arriba si el valor de y crece a un ritmo cada vez más rápido moviéndose de izquierda a derecha.
Cóncavo hacia abajo: lo contrario de cóncavo hacia arriba, en el que el valor de y disminuye de izquierda a derecha, se llama cóncavo hacia abajo.
Puntos de Inflexión: Los puntos de inflexión son puntos donde la función cambia de concavidad, es decir, de ser “cóncava hacia arriba” a ser “cóncava hacia abajo” o viceversa.
La segunda derivada de una función determina los valores de punto de inflexión máximos o mínimos locales . Estos se pueden identificar con la ayuda de las siguientes condiciones:
- Si f”(x) < 0, entonces la función f(x) tiene un máximo local en x.
- Si f”(x) > 0, entonces la función f(x) tiene un mínimo local en x.
- Si f”(x) = 0, entonces no es posible concluir nada sobre el punto x