Diagrama de Venn

Las matemáticas son una materia en la que los datos juegan un papel muy importante y representar los datos en el formato más sencillo también es muy importante. Las formas de representar datos para que sean fáciles de entender son gráficos, tablas, diagramas. No solo hacen que los datos se vean ordenados, sino que también hacen que sea muy fácil de recordar y comprender correctamente, una de esas formas es representar los datos a través del diagrama de Venn.

¿Qué es el diagrama de Venn?

Los diagramas de Venn se utilizan para representar los grupos de datos en círculos, si los círculos se superponen, algunos elementos de los grupos son comunes, si no se superponen, no hay nada en común entre los grupos o conjuntos de datos. Los conjuntos se representan como círculos y los círculos se muestran dentro del rectángulo que representa el conjunto Universal. El conjunto universal contiene todos los círculos ya que tiene todos los elementos presentes que involucran a todos los conjuntos.

John Venn, un famoso lógico dio el concepto de diagramas en 1918, es por eso que los diagramas se llaman diagramas de Venn. Hay varios beneficios de los diagramas de Venn,

• El diagrama de Venn se utiliza para la clasificación de datos que pertenecen a la misma categoría pero a diferentes subcategorías.
• La comparación de los diferentes datos se hace más fácil a través del diagrama de Venn, también la relación entre los datos.
• Agrupar la información y encontrar similitudes y diferencias entre ellos se vuelve fácil.
• Los diferentes parámetros desconocidos se pueden entender y descubrir fácilmente con la ayuda de los diagramas de Venn.

Dibujar Diagrama De Venn

Para dibujar un diagrama de Venn, primero, comprenda el tipo de símbolos que se usan en los conjuntos. Los conjuntos se pueden representar fácilmente en el diagrama de Venn y los parámetros se extraen fácilmente del propio diagrama, ni siquiera se requiere fórmula.

Símbolos:

Unión de un Conjunto⇢ ∪

Intersección de un Conjunto⇢ ∩

Complemento de un Conjunto A ⇢ A’ o A ^c

Los símbolos anteriores se utilizan al dibujar y mostrar la relación entre conjuntos. Para dibujar el diagrama de Venn, 

Paso 1: Comience dibujando un Rectángulo que muestre el Conjunto Universal.

Paso 2: De acuerdo con la cantidad de conjuntos dados y la relación entre ellos, dibuje diferentes círculos que representen diferentes Conjuntos.

Operación en conjuntos

Hay diferentes operaciones que se pueden hacer sobre conjuntos para encontrar el posible parámetro desconocido, por ejemplo, si dos conjuntos tienen algo en común, su intersección es posible. Veamos las operaciones básicas realizadas en conjuntos y cómo se ven en el diagrama de Venn,

complemento de un conjunto

Complementar un conjunto significa encontrar el valor de los datos presentes en el conjunto universal distintos de los datos del conjunto.

n(A’) = U- n(A)

unión de conjuntos

Unión de dos o más conjuntos representa el dato de los conjuntos sin repetir el mismo dato más de una vez, se muestra con el símbolo ⇢∪.

n(A∪ B) = {a: a∈ A O a∈ B}

Propiedades:

• A∪ B= B∪ A ⇢ [Propiedad conmutativa]
• A∪ (B∪ C)= (A∪ B) ∪ C ⇢ [Propiedad asociativa]
• UN ∪ U = U
• A ∪ A’= U
• UNA ∪ UNA= UNA

Intersección de conjuntos

La intersección de dos o más conjuntos significa extraer solo la cantidad de datos que es común entre los conjuntos. El símbolo usado para la intersección⇢ ∩.

n(A∩ B)= {a: a∈ A y a∈ B}

Propiedades:

• A∩ B= B∩ A ⇢ [Propiedad conmutativa]
• (A∩ B) ∩ C= A∩ (B ∩ C) ⇢ [Propiedad asociativa]
• A∩A= A
• UNA ∩ U= UNA
• A∩ A’=

Representación del diagrama de Venn de tres conjuntos:

Problemas de muestra

Pregunta 1: Conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5} y U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Representa A’ o Ac en el diagrama de Venn.

Solución:

Diagrama de Venn para A’

Pregunta 2: En un grupo de personas, 50 personas hablan hindi o inglés, 10 prefieren hablar hindi e inglés, 20 prefieren solo inglés. ¿Cuántas personas prefieren hablar hindi? Explique tanto por fórmula como por diagrama de Venn.

Solución:

Según fórmula,

n(H∪E) = n(H) + n(E) – n(H∩E)

Hablantes de inglés e hindi, n(H∩E) = 10

hablantes de inglés, n(E)= 20

Ya sea hindi o inglés, n(H∪E)= 50

50= 20+ n(A) – 10

n(H)= 50 – 10

n(H)= 40

Del diagrama de Venn,

Pregunta 3: En una clase, a los estudiantes les gusta jugar estos juegos: fútbol, ​​cricket, voleibol. 5 estudiantes juegan los 3 juegos, 20 juegan fútbol, ​​30 juegan voleibol, 40 juegan críquet. 10 juegan tanto al cricket como al voleibol, 12 juegan al fútbol y al cricket, 9 juegan al fútbol y al voleibol. ¿Cuántos alumnos hay presentes en la clase?

Solución:

n(F∪ C∪ V)= n(F)+ n(C)+ n(V) – n(F∩C) – n(F∩V) – n(C∩V)+ n(F∩ C ∩V)

n(F∪ C∪ V)= 20+ 30+ 40- 10-12-9+5

n(F∪ C∪ V)= 64

Hay 64 estudiantes en la clase.

Pregunta 4: Representa la información anterior con la ayuda de un diagrama de Venn que muestre la cantidad de datos presentes en cada conjunto.

Responder:

La información anterior debería verse así en el diagrama de Venn,

Pregunta 5: El siguiente diagrama de Venn tiene toda la información necesaria para mostrar los datos de todos los conjuntos posibles. Observa atentamente el diagrama y luego responde lo siguiente.

1. ¿Cuál es el valor de n(A∩ B∩ C)?

2. ¿Cuál es el valor de n(C)?

3. ¿Cuál es el valor de n(B ∩ A)?

4. ¿Cuál es el valor de n(A∪ B∪ C)?

5. ¿Cuál es el valor de n(B’)?

Responder:

Observando el diagrama de Venn, las preguntas anteriores se pueden responder fácilmente,

1. n(A ∩ B∩ C)= 5

2. n(C)= 15+ 5+5+5= 30

3. n(B∩A)= 5+5= 10

4. n(A∪ B∪ C)= 15+ 20+ 10+ 5+ 5+ 5+ 5= 65

5. n(B’)= U- n(B)= 100- (20+ 5+ 5+ 5)= 100- 35= 65