Continuidad o continuo lo que significa, “una función es continua en su dominio si su gráfica es una curva sin cortes ni saltos” . Una función es continua en un punto de su dominio si su gráfica no tiene rupturas o saltos en la vecindad inmediata del punto.
Continuidad en un punto:
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a de su dominio, si
(LHL) = (RHL) = f(a) o lím f(x) = f(a)
dónde
(LHL) x = a = lím x -> a – f(x) y
(RHL) x = a = lím x -> a + f(x)
Nota: Para evaluar LHL y RHL de una función f(x) en x = a, ponga x – h y x + h respectivamente, donde h -> 0
La discontinuidad en un Punto:
Si f(x) no es continua en un punto x = a, entonces es discontinua en x = a.
Hay varios tipos de discontinuidad:
- Discontinuidad removible: Si lim x -> a – f(x) = lim x -> a + f(x) ≠ f(a)
- Discontinuidad del primer tipo: Si lím x -> a + f(x) ≠ lím x -> a + f(x)
- Discontinuidad de segundo tipo: Si lím x -> a – f(x) o lím x -> a + f(x) ambos no existen
Diferenciabilidad y Concepto de Diferenciabilidad
Se dice que una función f(x) es derivable en un punto x = a, si la derivada izquierda en (x = a) es igual a la derivada derecha en (x = a), es decir
LHD en (x = a) = RHD en (x = a),
dónde
Derivada por la derecha, Rf’ (a) = lim h->0 (f(a + h) – f(a)) / h y
Derivada izquierda Lf’ (a) = lim h->0 (f(a – h) – f(a)) / -h
Nota: El valor común de Rf’ (a) y Lf’ (a) se denota por f'(a) y se conoce como la derivada de f(x) en x = a. Toda función derivable es continua, pero no es necesario que toda función continua sea derivable.
Condiciones de diferenciabilidad
Condición 1: La función debe ser continua en el punto. Como se muestra en la imagen de abajo.
tener como este
no tengo esto
Condición 2: el gráfico no tiene una esquina aguda en el punto como se muestra a continuación.
No tiene una esquina afilada
Tener la curva pronunciada
Condición 3: El gráfico no tiene una línea vertical en el punto. El gráfico no tiene la línea vertical como se muestra en la siguiente figura indicada por el círculo.
Indicando la línea vertical en el gráfico
Nota: La relación entre continuidad y diferenciabilidad es que todas las funciones diferenciables resultan ser continuas, pero no se puede decir que todas las funciones continuas sean diferenciables. Hablemos de Diferenciabilidad y Continuidad.
Diferenciabilidad de funciones especiales
Consideremos algunas funciones especiales:
- f(x) = [x] , que es el mayor entero de x, y el otro
- f(x) = {x} , que es la parte fraccionaria de x
1. Para f(x) = [x]
Entonces, primero, vamos con f(x) = [x] , para verificar la diferenciabilidad de la función, primero tenemos que trazar el gráfico. Así que vamos a trazar el gráfico
Entonces como vemos en el gráfico que entre 0 y 1 el valor de la función es 0 y entre 1 y 2 el valor de la función es 1 y entre 2 y 3 el valor de la función es 2, de igual manera en el lado -ve entre -1 y 0 el valor de la función es -1. Entonces, si hablamos del dominio de la función, el dominio es el valor total de los valores reales, pero el rango de esta función es solo números enteros, la función solo tomará valores enteros porque es el mayor número entero de x. Ahora hablemos de la diferenciabilidad de esta función en particular. En primer lugar, estamos hablando de puntos enteros, por lo que en primer lugar estamos comprobando la diferenciabilidad en los puntos enteros. Como sabemos para que la función sea diferenciable la función debe ser continua primero, como vemos la gráfica en el punto x = 1,
En punto entero,
Considere x = 1
RHL = límite x -> 1 + [x] = 1
LHL = límite x -> 1 – [x] = 0
Entonces, RHL ≠ LHL
Se verifica para x = 1, pero será válido para todos los puntos enteros, el resultado será el mismo. [x] no es continua en los puntos enteros, por lo que no es diferenciable en los puntos enteros. Entonces, [x] no es continua en los puntos enteros. Tampoco es diferenciable en puntos enteros.
Ahora, encontremos lo que sucede en los puntos no enteros. Consideremos x = 2.5, encontremos RHL y LHL
RHL = límite x -> 2.5 + [x] = 2
LHL = límite x -> 2,5 – [x] = 2
Dado que tanto RHL como LHL son iguales, nuestra función [x] es continua en un punto no entero. Ahora tenemos que verificar la diferenciabilidad en puntos no enteros, entonces tenemos que encontrar la pendiente de la función que podemos encontrar al encontrar la derivada de la función [x] en el punto 2.5
f'(x) = d[x] / dx en x = 2,5 = 0
Por lo tanto, la función es derivable en todos los puntos no enteros.
2. Para f(x) = {x}
Ahora estamos considerando la segunda función f(x) = {x} que es la parte fraccionaria de x. Para encontrar la diferenciabilidad y la continuidad, primero tenemos que trazar el gráfico.
Entonces, en este gráfico, el dominio de la función es todo el rango de valores reales y el rango de esta función es solo de 0 a 1 porque cualquier parte fraccionaria del valor está entre 0 y 1. Busquemos valores enteros, Considere el punto X = 1
RHL = límite x -> 1 + {x} = 0
LHL = límite x -> 1 – {x} = 1
Dado que RHL ≠ LHL, la función {x} no es continua y, por lo tanto, no es diferenciable. Encontremos para puntos no enteros. Considerando x = 1.5
RHL = límite x -> 1,5 + {x} = 0,5
LHL = límite x -> 1,5 – {x} = 0,5
Como RHL = LHL, la función es continua. Para encontrar la derivabilidad tenemos que encontrar la pendiente de la función que podemos encontrar encontrando la derivada de la función [x] en el punto 2.5
f'(x) = d{x} / dx en x = 1,5 = 1
Por tanto, la función {x} es derivable en puntos no enteros.
Problemas de diferenciabilidad
Problema 1: Demostrar que la función entera mayor definida por f(x) = [x] , 0 < x < 3 no es diferenciable en x = 1 y x = 2.
Solución:
Como la pregunta dada f(x) = [x] donde x es mayor que 0 y también menor que 3. Entonces tenemos que comprobar que la función es diferenciable en el punto x = 1 y en x = 2 o no. Para verificar la diferenciabilidad de la función, como discutimos anteriormente en Diferenciación, LHD en (x = a) = RHD en (x = a), lo que significa,
Lf’ en (x = a) = Rf’ en (x = a) si no son iguales después de resolver y poner el valor de a en lugar de x entonces nuestra función no debería diferenciarse y si ambos son iguales entonces podemos decir que la función es diferenciable en x = a, tenemos que resolver para dos puntos x = 1 y x = 2. Ahora, resolvamos para x = 1
f(x) = [x]
Ponga x = 1 + h
Rf’ = lím h -> 0 f(1 + h) – f(1)
= límite h -> 0 [1 + h] – [1]
Como [h + 1] = 1
= lím h -> 0 (1 – 1) / h = 0
Lf'(1) = lím h -> 0 [f(1 – h) – f(1)] / -h
= límite h -> 0 ( [1 – h] – [1] ) / -h
Dado que [1 – h] = 0
= lím h -> 0 (0 – 1) / -h
= -1 / -0
= ∞
De la solución anterior se ve que Rf’ ≠ Lf’, por lo que la función f(x) = [x] no es diferenciable en x = 1. Ahora, verifiquemos x = 2. Como resolvimos para x = 1 en el mismo vamos a resolver para x = 2. La condición debe ser la misma tenemos que comprobar que, Lf’ en (x = 2) = Rf’ en (x = 2) o no si son iguales entonces nuestra función es derivables en x = 2 y si no son iguales nuestra función no es derivable en x = 2. Entonces, resolvamos.
f(x) = [x]
Diferenciabilidad en x=2
Ponga x = 2+h
Rf'(1) = lím h -> 0 f(2 + h) – f(2)
= lím h -> 0 ([2 + h] – [2]) / h
Como 2 + h = 2
= lím h -> 0 (2 – 2) / h
= lím h -> 0 0 / h
=0
Lf'(1) = lím h -> 0 (f(2 – h) – f(2)) / -h
= límite h -> 0 ([2 – h] – [2]) / -h
= lím h -> 0 (1 – 2) / -h
Dado que [2 – h] =1
= -1 / -0
= ∞
De la solución anterior se ve que Rf'(2) ≠ Lf'(2), por lo que f(x) = [x] no es diferenciable en x = [2]
Problema 2:
Demuestre que la función anterior no es derivable en x = 0.
Solución:
Como sabemos, para verificar la diferenciabilidad, tenemos que encontrar Lf’ y Rf’ y luego, después de compararlos, sabemos si la función es diferenciable en el punto dado o no. Así que primero encontremos el Rf'(0).
Rf'(0) = lím h -> 0 f(0 + h) – f(0)
= lím h -> 0 (f(h) – f(0)) / h
= lím h -> 0 h . [{(e (1/h) – 1) / (e(1/h) + 1) } – 0]/h
= lím h -> 0 (e (1/h) – 1) / (e (1/h) + 1)
Multiplicar por e (-1/h)
= lím h -> 0 {1 – e (-1 / h) / 1 + e (-1 / h) }
= (1 – 0) / (1 + 0)
= 1
Después de resolver, encontramos que el valor de Rf'(0) es 1. Ahora, después de esto, busquemos Lf'(0) y luego verificaremos si la función es diferenciable o no.
Lf'(0) = lím h -> 0 { f (0 – h) – f (0) } / -h
= lím h -> 0 -h . [{e (-1 / h) – 1 / e (-1 / h) + 1} – 0] / -h
= lím h -> 0 { (e (-1 / h) – 1) / (e (-1 / h) + 1) }
= lím h -> 0 { (1 – e (-∞) )/ (1+e (-∞) )}
= (0 – 1) / (0 + 1)
= -1
Como vimos después de resolver Lf'(0) el valor que obtenemos es -1. Ahora comprobando si la función es diferenciable o no, Rf'(0) ≠ Lf'(0) (-1≠1). Como Rf'(0) ≠ Lf'(0), entonces f(x) no es diferenciable en x = 0.
Problema 3: Una función es f(x) definida por
f(x) = 1 + x de x < 2
f(x) = 5 – x de x ≥ 2
Si la función f(x) es diferenciable en x = 2?
Solución:
Entonces, para encontrar Lf'(2) tomamos la función f (x) = 1 = x, de la misma manera para encontrar Rf'(2) tomamos la función f (x) = (5 – x). Averigüemos Lf'(2) y Rf'(2)
Lf'(2) = lím h -> 0 {f(2 – h) – f(2)} / -h
= lím h -> 0 [[(2 – h) + 1] – [5 – 2]] / -h
= lím h -> 0 (3 – h – 3) / -h
= lím h -> 0 -h/h
= -1
Rf'(2) = lím h -> 0 {f(2 + h) – f(2)} / h
= lím h -> 0 [[5 – (2 + h)] – 3] / h
=lím h -> 0 h / h
= 1
En la primera línea Lf'(2) después de poner la fórmula, para f(2) estamos poniendo la segunda función (5 – x). Después de resolver Lf'(2) obtenemos el valor -1. Para calcular Rf'(2) estamos usando la segunda función 5-x y poniendo la fórmula de Rf’, al resolver Rf'(2) obtenemos el valor 1. Ya que, Rf'(2) ≠ Lf'( 2) por lo que podemos decir que la función f(x) no es diferenciable en x = 2.
Problema 4: ¿Encuentra si la siguiente función es diferenciable en x = 1 y x = 2 o no?
f(x) = x , x < 1
f(x) = 2 – x , 1 ≤ x ≤ 2
f(x) = -2 + 3x – x2 , x > 2
Solución:
Entonces, para verificar la diferenciabilidad en x = 1. Tenemos que encontrar Lf'(1) y Rf'(1). Así que encontremos Lf'(1) y Rf'(1). Para resolver estamos poniendo el valor de x que es 1 en la fórmula de Lf’ y Rf’. Para resolver Lf’ estamos tomando la primera función que es x porque estamos calculando la derivada por la izquierda. Después de resolver simplemente para Lf'(1), obtenemos el valor 1. Para resolver Rf’ estamos tomando la función 2cd que es 2 – x porque estamos calculando la derivada por la derecha. Después de poner, simplemente resolver para Rf'(1) obtenemos el valor -1. Entonces, Rf'(1) ≠ Lf'(1). Por lo tanto, la función no es diferenciable en x = 1. Ahora, verifiquemos x = 2
Lf'(2) = lím h -> 0 {f(2 – h) – f(2)} / -h
= lím h -> 0 {2 – (2 – h) – (2 – 2)} / -h
= lím h -> 0 h / -h
= -1
Rf'(2) = lím h -> 0 { f(2 + h) – f(2)
= lím h -> 0 {-2 + 3(2 + h) – (2 + h) 2 – (2 – 2) } / h
= lím h -> 0 {-2 + 6 + 3h – (4 + h 2 + 4h) – 0} / h
= lím h -> 0 (-h 2 – h) / h
= lím h -> 0 -h . (hora + 1) / hora
= – (0 + 1)
= -1
Para resolver Lf'(2) estamos tomando la función (2 – x) porque esta función es menor que 2, y como sabemos para encontrar la derivada por la izquierda tenemos que tomar la función que es menor que el límite dado. Entonces, después de poner la fórmula de Lf’, resolviendo el problema, y después de resolver obtenemos el valor -1. Ahora, para resolver Rf’, estamos tomando -2 + 3x – x 2 , como sabemos para encontrar la derivada derecha, el límite debe ser mayor que el punto en el que estamos calculando. Ahora ingrese la fórmula o Rf’ y obtenemos el valor después de resolver es -1. Entonces, como vimos, Rf'(2) = Lf'(2). Por tanto, la función f(x) es diferenciable en x = 2.
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Artículo escrito por srishivansh5404 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA