Diferenciación logarítmica: continuidad y diferenciabilidad

La palabra continuidad significa algo que es de naturaleza continua. El flujo de agua es continuo, el tiempo en la vida real es continuo y muchos más casos muestran la continuidad en la vida real. En matemáticas, la función continua es aquella que cuando se dibuja en un gráfico no muestra interrupciones y es de naturaleza continua. La diferenciabilidad de la función es posible solo y solo si es de naturaleza continua. La diferenciación logarítmica es un tema aparte debido a sus múltiples propiedades y para una mejor comprensión de Log.

Continuidad y Diferenciabilidad

La continuidad de una función muestra dos cosas, la propiedad de la función y el valor funcional de la función en cualquier punto. Se dice que una función es continua en x = a, si su valor permanece igual en x=a-, x=a+ y x=a. Más formalmente, se puede escribir como, 

Se dice que una función es continua en el intervalo cerrado [a, b], si

• f es continua en (a, b)
• sigue 
• sigue 

Diferenciabilidad significa que una función es diferenciable, si se dice que una función es diferenciable en x=a, significa que f'(a) [la derivada de la función] existe en todos y cada uno de los puntos de ese dominio.

Diferenciabilidad⇢ 

Diferenciación logarítmica

La diferenciación logarítmica tiene su uso en muchos lugares de la física y las matemáticas, ya sea para resolver errores o resolver funciones muy complejas, se prefiere la diferenciación logarítmica a la diferenciación simple. El método tiene propiedades y reglas que cuando se aplican simplifican el cálculo, aplicar la regla del cociente y el producto no es práctico en funciones muy complejas, en este punto, optar por la diferenciación logarítmica es una mejor opción.

Método de resolución de Diferenciación Logarítmica

• Primero, tome el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación dada.
• Aplique diferentes propiedades de log para romper la función y hacerla más fácil de resolver.
• Diferenciar la función aplicando reglas, como la regla de la string.
• Multiplique el RHS con la Función misma ya que estaba en el denominador del LHS.

Derivado de logₐx (para cualquier base positiva a≠1)

Se sabe que la diferenciación de logx es 1/x, pero esta es la diferenciación de logaritmo natural (es decir, base e), ¿es posible tener diferentes bases y su diferenciación también es posible? SÍ. Con la ayuda de 2 propiedades simples de log, se puede derivar.

Averigüemos la derivada de Log _a x (donde a es cualquier número entero positivo a≠ 1),

d/dx(lnx)= 1/x

Cuando se cambian las bases, se pueden escribir como,

Por lo tanto, escribir log _a x en la forma dada arriba y luego diferenciarlo dará,

Diferenciando ambos lados,

Ejemplo 1: Encuentra la diferenciación para log ₉ x

Responder:

d/dx[log ₉ x]= d/dx[logx/log9]

Ejemplo 2: Diferenciar -5log ₆ x

Responder:

Ejemplo 3: Diferenciar log ₄ (x ² +x)

Solución:

Como es claro, que la función dada es una función compuesta. Por lo tanto, la regla de la string es esencial para ser aplicada aquí.

y= logaritmo ₄ (x ² +x)

Supongamos que x ² +x sea p(x)

p'(x)= 2x+1

Para la función de registro, llamémosla q(x)

q(x)= log ₄ (x)

q'(x)=1/x.log4

y es la función completa que ahora se puede escribir como, 

y= q(p(x))

y’= q'(p(x))× p'(x)

dy/dx= 

Los ejemplos anteriores están relacionados con la diferenciación de log _a x y también con la diferenciación de números compuestos.

Algunas propiedades básicas de Log 

Propiedad/Regla	Fórmula
Producto	ln(xy)= ln(x)+ ln(y)
Registro recíproco	ln(1/x)= -ln(x)
Registro de 1	ln(1)= 0
Registro de e	ln(e)= 1
Registro de poder	ln(x) y = yln(x)
Cociente	ln(x/y)= ln(x)-ln(y)

Ahora echemos un vistazo a algunos otros ejemplos basados ​​en las propiedades del logaritmo. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Diferenciar, 

Solución:

diferenciando, 

Suponga, 1-3x ³ = v(x)

Donde, v(x) también es una función de x, por lo tanto, también es necesario diferenciarla.

Pregunta 2: Diferenciar, h(x)= 5ln(x) 

Solución:

d/dx[ln(x)]= 1/(x)

Por lo tanto, d/dx[h(x)] = h'(x)= d/dx[5/x]

h'(x)= 5/x

Pregunta 3: Diferenciar, y= ln(4+ 7x ⁵ )

Solución:

y’= d[y]/dx =d/dx[ln(4+7x ⁵ )]

dy/dx= 

Pregunta 4: Diferenciar, y = cosx × cos3x × cos5x

Solución:

Agregue registro en ambos lados,

Logia= log{cosx × cos3x × cos5x}

Logia= log(cosx) × log(cos3x) × log(cos5x)

Diferenciando en ambos lados,

d/dx[logía]= d/dx[log(cosx) × log(cos3x) × log(cos5x)]

1/y × dy/dx = [(1/cosx) × d(cosx)/dx] + [1/cos3x × d(cos3x)/dx] + [1/cos5x × d(cos5x)/dx]

1/y × dy/dx = -senx/cosx -3sen3x/cos3x -5 sen5x/cos5x

dy/dx= y × {-tanx-3tan3x-5tan5x}

dy/dx= {cosx× cos3x × cos5x} × {-tanx -3tan3x -5tan5x}

Pregunta 5: ¿Cuál es el significado de Log de un número?

Responder:

Un Log o Logaritmos es la potencia a la que se debe elevar un número para obtener otro número. Por ejemplo, el logaritmo de base 10 para 1000 es 3, el logaritmo de base 10 de 10000 es 4, y así sucesivamente. El registro se usa para encontrar la asimetría en valores grandes y para mostrar el cambio porcentual de múltiples factores.

Pregunta 6: Diferenciar, 

Responder:

Agregar registro en ambos lados,

Logy= (Senx)Log{log(x)}

Diferenciar con respecto a x en ambos lados,

1/a dy/dx= 

dy/dx= y × 

dy/dx= logx ^senx

Pregunta 7: Explique en pasos para resolver la Diferenciación Logarítmica.

Responder:

Los pasos para resolver la diferenciación logarítmica son muy fáciles y cortos,

• Tome registro en ambos lados de la ecuación
• Utilice las propiedades de Log y simplifique RHS
• Diferencie ambos lados, aplique la regla de la string en RHS
• Pon el valor de la función en ambos lados

Pregunta 8: Diferenciar , 

Responder:

Aplicar registro en ambos lados,

1/año dy/dx= d/dx {log(x+5) -log(x ³ + 3)}

1/año dy/dx = 1/(x+5) – 3x/(x ³ +3)

dy/dx= y [1/(x+5) – 3x/(x ³ +3)]

dy/dx= 

Pregunta 9: Diferenciar , 

Responder:

Tomando registro en ambos lados,