En el espacio 3D, dos líneas pueden intersecarse entre sí en algún punto, paralelas entre sí o no pueden intersecarse ni ser paralelas entre sí, lo que también se conoce como líneas oblicuas.
- En el caso de líneas que se cortan, la distancia más corta entre ellas es 0.
- Para líneas paralelas, la longitud de la línea que une las dos líneas paralelas o la longitud de la línea perpendicular a ambas líneas paralelas tiene la distancia más corta.
- En el caso de líneas oblicuas, la distancia más corta es la línea perpendicular a ambas líneas dadas.
Nota: Los alfabetos escritos en negrita representan vectores. ‘x’ denota producto cruzado (producto vectorial).
Distancia más corta entre dos líneas paralelas
Considerando 2 líneas en forma vectorial como:
v1 = a1 + c * b
v2 = a2 + d * b
Aquí, c y d son las constantes.
b = vector paralelo a ambos vectores v1 y v2
a1, a2 son los vectores de posición de algún punto en v1 y v2 respectivamente
Distancia más corta = |bx (a2 – a1)| / |b|
Ejemplos
Ejemplo 1: Para las siguientes líneas en el espacio 3D.
v1 = yo – 2j + yo – j + k
v2 = yo – 3j + k + yo – j + k
¿Encontrar la distancia más corta entre estas líneas?
Solución:
v1: yo – 2j + yo – j + k
v2: yo – 3j + k + yo – j + k
b = yo – j + k
a1 = yo -2j
a2 = yo – 3j + k
a2 – a1 = -j + k
| segundo | = √3 = 1,73
| bx ( a2 – a1 )| = √2 = 1,41
Distancia más corta = | bx ( a2 – a1 )|/| segundo | = 1,41/1,73 = 0,815
Ejemplo 2: Para las siguientes líneas en el espacio 3D.
v1 = yo – j – k + 2i – 3j + 4k
v2 = 2i – 3j + k + 6i – 9j + 12k
¿Encontrar la distancia más corta entre estas líneas?
Solución:
El vector se puede escribir en forma como:
v1 = yo – j – k + 2i – 3j + 4k
v2 = 2i – 3j + k + 3 * (2i – 3j + 4k)
b = 2i – 3j + 4k
| segundo | = √(2) 2 + (-3) 2 + (4) 2 = 5,385
a1 = yo – j – k
a2 = 2 yo – 3 j + k
a2 – a1 = yo – 2j + 2k
bx ( a2 – a1 ) = 2 yo – k
| b x ( a2 – a1 )| = √(2) 2 + (1) 2 = 2.236
Ahora aplicando la fórmula de la distancia más corta para rectas paralelas = | b x ( a2 – a1 )|/| segundo | = 2,236/5,385 = 0,415
Ejemplo 3: Dadas dos líneas en formato cartesiano como:
V1: (x – 2)/2 = (y – 1)/3 = (z)/4
V2: (x – 3)/4 = (y – 2)/6 = (z – 5)/8
Encuentra la distancia más corta entre estas líneas.
Solución:
El vector de desplazamiento de V1 es 2i + 3j + 4k , para V2 es 4i + 6j + 8k
El vector de desplazamiento V2 es un múltiplo de V1 como,
4i + 6j + 8k = 2 * ( 2i + 3j + 4k )
Entonces las dos rectas dadas son paralelas entre sí.
a1 = 2i + j + 0k
a2 = 3i + 2j + 5k
a2 – a1 = yo + j +5k
b = 2i + 3j + 4k
|b| = √(2) 2 + (3) 2 + (4) 2 = 5,385
bx (a2 – a1) = 11i – 6j – k
|bx (a2 – a1)| = 12.569
distancia más corta = | bx (a2 – a1) |/| b |= 12.569/5.385 = 2.334
Distancia más corta entre líneas oblicuas
Considerando 2 líneas en forma vectorial como:
v1 = a1 + c * b1
v2 = a2 + d * b2
aquí, c y d son las constantes.
La distancia más corta 2 líneas oblicuas = |(b1 x b2)(a2 – a1)|/|(b1 x b2)|
Nota : si dos líneas se cruzan, entonces la distancia más corta considerando que la inclinación de las dos líneas será automáticamente cero.
Ejemplos
Ejemplo 1: Dadas dos líneas en forma vectorial como:
V1: yo – j + 2i + j + k
V2: i + j + 3i – j – k
Encuentra la distancia más corta entre estas líneas.
Solución:
Las líneas dadas son líneas oblicuas.
b1 = 2i + j + k
b2 = 3i – j – k
a2 = yo + j
a1 = yo – j
a2 – a1 = 2j
(b1 x b2) = 5j – 5k
Distancia más corta = |( b1 x b2 )( a2 – a1 )|/|( b1 x b2 )| = 10/7,07 = 1,41
Ejemplo 2: Dadas dos líneas en forma vectorial como:
V1: 2i – j + 5 * (3i – j + 2k)
v2: i – j + 2k + 2* (i + 3j + 4k)
Encuentra la distancia más corta entre estas líneas.
Solución:
Las líneas dadas son líneas oblicuas.
Distancia más corta = |( b1 x b2 )( a2 – a1 )|/|( b1 x b2) |
b1 = 3i – j + 2k
b2 = yo + 3j + 4k
a1 = 2i – j
a2 = yo – j + 2k
a2 – a1 = -i + 2k
(b1 x b2) = -10i – 10j + 10k
| b1 × b2 | = 17.320
|( b1 x b2 )( a2 – a1 )| = 40
Distancia más corta = 40/17.320 = 2.309
Ejemplo 3: Dadas 2 líneas en forma cartesiana, encuentre la distancia más corta entre ellas.
V1: (x – 1)/2 = (y – 1)/3 = (z)/4
V2: (x)/1 = (y – 2)/2 = (z – 1)/3
Solución:
a1 = yo + j
a2 = -2j + k
b1 = 2i + 3j + 4k
b2 = yo + 2j + 3k
a2 – a1 = -3i – j + k
(b1 x b2) = yo – 2j + k
| b1 × b2 | = 2,44
Distancia más corta =|( i – 2j + k )( -3i – j + k )|/2.44 = 0
Dado que la distancia más corta es cero, significa que estas dos líneas son líneas que se cruzan.