La geometría es un campo de las matemáticas que se ocupa del tamaño, la posición, las formas, los ángulos y las dimensiones de varias cosas. La geometría 2D incluye formas como cuadrados, círculos, triángulos, hexágonos, etc. Las formas 2D solo tienen 2 dimensiones. La geometría 3D incluye formas como cubos, cilindros, conos, etc. Las formas 3D tienen 3 dimensiones. Pero todas estas formas están hechas con líneas.
El cono es parte de la geometría 3D y es una forma tridimensional. Pero a pesar de que es una forma de 3 dimensiones, se pueden producir muchas curvas sólidas mediante la intersección de un plano y un cono circular recto en varios ángulos. La forma de la curva cambia con el desplazamiento de la posición del plano de sección.
sección cónica de la parábola
Parábola
Una parábola es una ecuación de una curva tal que un punto de la curva es equidistante de un punto fijo y una línea fija. El punto fijo se llama foco de la parábola y la línea fija se llama directriz de la parábola.
La parábola se obtiene cuando un cono circular recto es cortado por un plano de sección en cualquier ángulo y paralelo a la altura inclinada del cono.
La ecuación general de una parábola es:
y = a(xh) 2 + k
o
x = a(yk) 2 +h ,donde (h , k) representa el vértice.
La ecuación estándar de una parábola regular es
y2 = 4ax.
Por lo anterior, la ecuación el vértice es (0,0)
Foco: por lo anterior, (a,0)
Directriz: Es una recta trazada paralela al eje y y que pasa por (-a,0)
Latus Rectum: Es un cordón focal que pasa por el foco de la parábola.
Excentricidad: Es la relación entre la distancia entre un punto del foco y la distancia del mismo punto a la directriz. Para parábola, el valor de excentricidad es 1.
Varias formas de parábola
y2 = 4ax
La ecuación del eje es y = 0
La ecuación de la directriz es x = -a
El vértice de la parábola está en (0, 0)
El foco de la parábola es (a, 0)
La longitud del recto Latus es 4a
y2 = -4ax
La ecuación del eje es y = 0
La ecuación de la directriz es x=a
El vértice de la parábola está en (0 , 0)
El foco de la parábola es (-a, 0)
La longitud del recto Latus es 4a
x 2 = 4 día
La ecuación del eje es x = 0
Las ecuaciones de la directriz es y =-a
El vértice de la parábola está en (0 , 0)
El foco de la parábola es (0 , a)
La longitud del recto Latus es 4a
x 2 = -4 día
La ecuación del eje es x = 0
La ecuación de la directriz es y = a
El vértice de la parábola está en (0 , 0)
El foco de la parábola es (0 , -a)
La longitud del recto Latus es 4a
(y – k) 2 = 4a(x – h)
La ecuación del eje es y = k
La ecuación de la directriz es x = -a
El vértice de la parábola está en (h , k)
El foco de la parábola es (a +h , k)
La longitud del recto Latus es 4a
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra las coordenadas del foco, el eje, la ecuación de la directriz y el latus rectum de la parábola y 2 = 16x.
Responder:
Dada la ecuación de la parábola es: y 2 = 16x
Comparando con la forma estándar y 2 = 4ax,
4a = 16
un = 4
El coeficiente de x es positivo por lo que la parábola se abre hacia la derecha.
Además, el eje de simetría está a lo largo del eje x positivo.
Por lo tanto,
El foco de la parábola es (a, 0) = (4, 0).
La ecuación de la directriz es x = -a, es decir, x = -4
Longitud del latus rectum = 4a = 4(4) = 16
Pregunta 2: Encuentra la ecuación de la parábola que es simétrica con respecto al eje y y pasa por el punto (3, -4).
Responder:
Dado que la parábola es simétrica respecto al eje y y tiene su vértice en el origen.
Así, la ecuación puede ser de la forma x 2 = 4ay o x 2 = -4ay, donde el signo depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Como la parábola pasa por (3, -4) que está en el cuarto cuadrante, debe abrirse hacia abajo.
Entonces, la ecuación será: x 2 = -4ay
Sustituyendo (3, -4) en la ecuación anterior,
(3) 2 = -4a(-4)
9 = 16a
un = 9/16
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: x 2 = -4(9/16)y
4x 2 = -9y
Pregunta 3: Encuentra las coordenadas del foco, el eje, la ecuación de la directriz y el latus rectum de la parábola y 2 = 8x.
Responder:
Dada la ecuación de la parábola es: y 2 = 8x
Comparando con la forma estándar y 2 = 4ax,
4a = 8
un = 2
El coeficiente de x es positivo por lo que la parábola se abre hacia la derecha.
Además, el eje de simetría está a lo largo del eje x positivo.
Por lo tanto,
El foco de la parábola es (a, 0) = (2, 0).
La ecuación de la directriz es x = -a, es decir, x = -2
Longitud del latus rectum = 4a = 4(2) = 8
Pregunta 4: Encuentra las coordenadas del foco, el eje, la ecuación de la directriz y el latus rectum de la parábola y 2 = 52x.
Responder:
Dada la ecuación de la parábola es: y 2 = 52x
Comparando con la forma estándar y 2 = 4ax,
4a = 52
un = 13
El coeficiente de x es positivo por lo que la parábola se abre hacia la derecha.
Además, el eje de simetría está a lo largo del eje x positivo.
Por lo tanto,
El foco de la parábola es (a, 0) = (13, 0).
La ecuación de la directriz es x = -a, es decir, x = -13
Longitud del latus rectum = 4a = 4(13) = 52
Pregunta 5: Encuentra las coordenadas del foco, el eje, la ecuación de la directriz y el latus rectum de la parábola x 2 = 16y.
Responder:
La ecuación dada de la parábola es: x 2 = 16y
Comparando con la forma estándar x 2 = 4ay,
4a = 16
un = 4
El coeficiente de x es positivo por lo que la parábola se abre hacia arriba.
Además, el eje de simetría está a lo largo del eje x positivo.
Por lo tanto,
El foco de la parábola es (0,a) = (0, 4).
La ecuación de la directriz es y= -a, es decir, y = -4
Longitud del latus rectum = 4a = 4(4) = 16