Ecuación estándar de una parábola con ejemplos

La gráfica de una ecuación cuadrática se puede denominar parábola. En secciones cónicas, una parábola es la ecuación de una curva, donde un punto de la curva está en la forma equidistante de una línea fija y un punto fijo en el plano. La línea fija se conoce como la directriz de una parábola, y el punto fijo se conoce como el foco de una parábola. En palabras simples, una parábola se conoce como el lugar geométrico de un punto que es equidistante de una línea fija (directriz) y un punto fijo (foco). El eje de una parábola pasa por el foco y es perpendicular a la directriz de una parábola. El punto de intersección de la parábola con el eje se llama vértice de una parábola.

Ecuación de una parábola

La ecuación general de una parábola es,

y = 4a(x – h) ² + k

(o)

x = 4a(y – k) ² + h

Donde (h, k) es el vértice de una parábola.

Algunos términos importantes y partes de una parábola

1. Foco: El foco es el punto fijo de una parábola.
2. Directriz:  La directriz de una parábola es la línea perpendicular al eje de una parábola. 
3. Cuerda Focal:  La cuerda que pasa por el foco de una parábola, cortando la parábola en dos puntos distintos, se llama cuerda focal.
4. Distancia focal:  La distancia focal es la distancia de un punto (x ₁ , y ₁ ) en la parábola desde el foco. 
5. Latus Rectum: Un latus rectum es una cuerda focal que pasa por el foco de una parábola y es perpendicular al eje de la parábola. La longitud del latus rectum es LL’ = 4a.
6. Excentricidad:  La relación entre la distancia de un punto al foco y su distancia a la directriz se llama excentricidad (e). Para una parábola, la excentricidad es igual a 1, es decir, e = 1.

Una parábola tiene cuatro ecuaciones estándar basadas en la orientación de la parábola y su eje. Cada parábola tiene un eje transversal y un eje conjugado diferentes.

Ecuación de la parábola	Parábola	Fórmulas de parámetros de una parábola
y2 = 4ax		Vértice = (0,0) Foco = (a, 0) La parábola se abre hacia el lado derecho. La ecuación del eje es y = 0 La ecuación de la directriz es x + a = 0 La longitud del latus rectum = 4a
y2 = -4ax		Vértice = (0,0) Enfoque = (-a, 0) La parábola se abre hacia el lado izquierdo. La ecuación del eje es y = 0 La ecuación de la directriz es x – a = 0 La longitud del latus rectum = 4a
x 2 = 4 días		Vértice = (0,0) Foco = (0, a) La parábola se abre hacia arriba. La ecuación del eje es x = 0 La ecuación de la directriz es y + a = 0 La longitud del latus rectum = 4a
x 2 = -4 día		Vértice = (0,0) Foco = (0, -a) La parábola se abre hacia abajo. La ecuación del eje es x = 0 La ecuación de la directriz es y – a = 0 La longitud del latus rectum = 4a

Las siguientes son las observaciones hechas a partir de la forma estándar de las ecuaciones de una parábola:

• Una parábola es simétrica con respecto a su eje. Por ejemplo, y ² = 4ax es simétrica con respecto al eje x, mientras que x ² = 4ay es simétrica con respecto al eje y.
• Si una parábola es simétrica con respecto al eje x, entonces la parábola se abre hacia la derecha si el coeficiente x es positivo y hacia la izquierda si el coeficiente x es negativo.
• Si una parábola es simétrica con respecto al eje y, entonces la parábola se abre hacia arriba si el coeficiente y es positivo y hacia abajo si el coeficiente y es negativo.

Las siguientes son las ecuaciones estándar de una parábola cuando el eje de simetría es paralelo al eje x o al eje y y el vértice no está en el origen. 

Ecuación de la parábola	Parábola	Fórmulas de parámetros de una parábola
(y – k) 2 = 4a(x – h)		Vértice = (h, k) Foco = (h + a, k) La parábola se abre hacia el lado derecho. La ecuación del eje es y = k La ecuación de la directriz es x = h – a La longitud del latus rectum = 4a
(y – k) 2 = -4a(x – h)		Vértice = (h, k) Foco = (h – a, k) La parábola se abre hacia el lado izquierdo. La ecuación del eje es y = k La ecuación de la directriz es x = h + a La longitud del latus rectum = 4a
(x – h) 2 = 4a(y – k)		Vértice = (h, k) Foco = (h, k + a) La parábola se abre hacia arriba. La ecuación del eje es x = h La ecuación de la directriz es y = k – a La longitud del latus rectum = 4a
(x – h) 2 = -4a(y – k)		Vértice = (h, k) Foco = (h, k – a) La parábola se abre hacia abajo. La ecuación del eje es x = h La ecuación de la directriz es y = k + a La longitud del latus rectum = 4a

Derivación de la ecuación de la parábola.

Sea P un punto de la parábola cuyas coordenadas son (x, y). De la definición de parábola, la distancia del punto P al foco (F) es igual a la distancia del mismo punto P a la directriz de una parábola. Ahora, consideremos un punto X en la directriz, cuyas coordenadas son (-a, y).

 

De la definición de la excentricidad de una parábola, tenemos 

e = FP/PX = 1

⇒ PF = PX

Las coordenadas del foco son (a, 0). Ahora, usando la fórmula de distancia de coordenadas, podemos encontrar la distancia del punto P (x, y) al foco F (a, 0).

FP = √[(x – a) ² + (y – 0) ² ]

⇒ FP = √[(x – a) ² + y ² ] —————— (1)

La ecuación de la directriz es x + a = 0. Para encontrar la distancia de PX, usamos la fórmula de la distancia perpendicular.

PX = (x + a)/√[1 ² + 0 ² ]

⇒ PX = x +a —————— (2)

Ya sabemos que PF = PX. Entonces, iguale las ecuaciones (1) y (2).

√[(x – a) ² + y ² ] = (x + a)

Al cuadrar en ambos lados obtenemos,

⇒ [(x – a) ² + y ² ] = (x + a) ²

⇒ x2 ⁺ a2 – 2ax + ^{y2 =} x2 ^{+ a2} + 2ax

⇒ y ² – 2ax = 2ax

⇒ y ² = 2ax + 2ax ⇒ y ² = 4ax

Por lo tanto, hemos derivado la ecuación de una parábola. De manera similar, podemos derivar las ecuaciones estándar de las otras tres parábolas.

• y2 ⁼ -4ax
• x ² = 4 días
• x ² = -4 día

y ² = 4ax, y ² = -4ax, x ² = 4ay y x ² = -4ay son las ecuaciones estándar de una parábola.

Ejemplos resueltos

Problema 1: Encuentra la longitud del latus recto, foco y vértice, si la ecuación de la parábola es y ² = 12x.

Solución:

Dado, 

La ecuación de la parábola es y ² = 12x

Al comparar la ecuación dada con la forma estándar y ² = 4ax

4a = 12

⇒ a = 12/4 = 3

Lo sabemos,

El latus rectum de una parábola = 4a = 4 (3) = 12

Ahora, foco de la parábola = (a, 0) = (3, 0)

Vértice de la parábola dada = (0, 0)

Problema 2: Encuentra la ecuación de la parábola que es simétrica respecto al eje X y pasa por el punto (-4, 5).

Solución:

Dado,

La parábola es simétrica respecto al eje X y tiene su vértice en el origen.

Así, la ecuación puede ser de la forma y ² = 4ax o y ² = -4ax, donde el signo depende de si la parábola abre hacia el lado izquierdo o hacia el lado derecho.

La parábola debe abrir a la izquierda ya que pasa por (-4, 5) que se encuentra en el segundo cuadrante.

Entonces, la ecuación será: y ² = -4ax

Sustituyendo (-4, 5) en la ecuación anterior,

⇒ (5) ² = -4a(-4)

⇒ 25 = 16a

⇒ un = 25/16

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: y ² = -4(25/16)x (o) 4y ² = -25x.

Problema 3: Encuentra las coordenadas del foco, el eje, la ecuación de la directriz y el lado recto de la parábola x ² = 16y.

Solución:

Dado,

La ecuación de la parábola es: x ² = 16y

Al comparar la ecuación dada con la forma estándar x ² = 4ay,

4a = 16 ⇒ a = 4

El coeficiente de y es positivo por lo que la parábola se abre hacia arriba.

Además, el eje de simetría está a lo largo del eje Y positivo.

Por eso,

El foco de la parábola es (a, 0) = (4, 0).

La ecuación de la directriz es y = -a, es decir, y = -4 o y + 4 = 0.

Longitud del latus rectum = 4a = 4(4) = 16.

Problema 4: Encuentra la longitud del latus recto, el foco y el vértice si la ecuación de una parábola es 2(x-2) ² + 16 = y. 

Solución:

Dado, 

La ecuación de una parábola es 2(x-2) ² + 16 = y

Al comparar la ecuación dada con la ecuación general de una parábola y = a(x – h) ² + k, obtenemos

un = 2

(h, k) = (2, 16)

Lo sabemos, 

La longitud del lado recto de una parábola = 4a

= 4(2) = 8

Ahora, enfoque = (a, 0) = (2, 0)

Ahora, Vértice = (2, 16).

Problema 5: La ecuación de una parábola es x ² – 12x + 4y – 24 = 0, luego encuentra su vértice, foco y directriz.

Solución:

Dado, 

La ecuación de la parábola es x ² – 12x + 4y – 24 = 0

⇒ x2 – 12x ⁺ 36 – 36 + 4y – 24 = 0

⇒ (x – 6) ² + 4y – 60 = 0

⇒ (x – 6) ² = -4(y + 15)

La ecuación obtenida tiene la forma de (x – h) ² = -4a(y – k) 

-4a = -4 ⇒ a = 1

Entonces, el vértice = (h, k) = (6, – 15)

Foco = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)

La ecuación de la directriz es y = k + a

⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14

⇒ y + 14 = 0