Las ecuaciones lineales nos permiten explicar muchos fenómenos físicos que suceden a nuestro alrededor. Por ejemplo, un tren que circula entre dos estaciones a una velocidad constante, la velocidad de un objeto que cae. Incluso las líneas rectas que dibujamos en papel se pueden representar matemáticamente en forma de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal en dos variables se puede representar en un gráfico 2D como una línea recta. Veámoslos de manera formal.
Ecuación lineal en dos variables
La ecuación lineal en dos variables se representa como,
hacha + por + c = 0
Aquí a, b y c son números reales. a y b no deben ser cero.
Soluciones a las ecuaciones lineales
Las soluciones de las ecuaciones lineales son aquellos puntos (x, y) que satisfacen la ecuación dada. Hay infinitas soluciones posibles para una ecuación lineal. Al resolver ecuaciones lineales, debemos tener en cuenta algunas cosas. La solución de una ecuación lineal no se ve afectada cuando,
- El mismo número o término se suma o se resta de ambos lados de la ecuación.
- Multiplicamos los mismos números a ambos lados de la ecuación.
Pregunta: Encuentra diferentes soluciones a la ecuación y + 2x = 4.
Solución:
Para conocer las diferentes soluciones en general. Supongamos una variable y averigüemos el valor de otras variables.
Digamos x = 0, entonces
y + 2.0 = 4
⇒ y = 4.
Nuevamente digamos x = 2, entonces
y + 2.2 = 4
⇒ y = 0
De manera similar, para x = 3, y = -2.
Entonces, así, se pueden encontrar muchas soluciones para la ecuación lineal dada.
X 0 1 2 3 …. y 4 2 0 -2 ….
Veamos ahora cómo trazar estas soluciones en el gráfico.
Trazar las soluciones en el gráfico
Las soluciones de las ecuaciones lineales en dos variables forman una línea recta en el gráfico. Hay algunos tipos de patrones observados en las gráficas de ecuaciones lineales. Estas ecuaciones lineales a veces pasan por el origen, a veces son paralelas al eje x o al eje y y la mayoría de las veces están sesgadas. Veremos todos estos casos con ejemplos.
Digamos que tenemos una ecuación y = 4x – 5. Grafiquémosla
Poniendo x = 0, obtenemos y = -5. De manera similar, pongamos diferentes valores de x y averigüemos los valores de y. Después de encontrar valores suficientes, uniremos todos ellos para hacer una línea recta.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -5 | -1 | 3 | 7 |
El gráfico para esta ecuación se ve así,
Ecuación de rectas paralelas al eje x y al eje y
A veces, las ecuaciones lineales, cuando se trazan en un gráfico, se vuelven paralelas al eje x o al eje y. ¿Cuándo sucede eso? ¿Y que significa?
Para una ecuación general de la forma
y-k = 0
o
x-k = 0
Donde k es cualquier constante real.
En un plano unidimensional, estas ecuaciones representarán un punto x = k o y = k. Pero cuando se traen y representan como una ecuación lineal en dos variables, representan líneas paralelas a los ejes. Veamos cómo sucede esto.
x – 2 cuando se representa como una ecuación en dos variables se verá como x + 0.y – 2 = 0. Busquemos las soluciones para esta ecuación y grafiquémoslas. Observe que la ecuación no se verá afectada por ningún valor de y. Entonces, todos los valores de y pueden incluirse en la ecuación. El único valor de x que satisface la ecuación es x = 2.
De este modo,
| X | 2 | 2 | 2 | 2 |
| y | -5 | -3 | 3 | 10 |
Se puede hacer un análisis similar para la ecuación y – 2 = 0 donde los valores de x no afectan la ecuación, por lo que todos los valores de x se pueden incluir en la ecuación.
De este modo,
| X | -5 | -3 | 3 | 5 |
| y | 2 | 2 | 2 | 2 |
Ecuaciones que pasan por el origen
Algunas ecuaciones tienen (0, 0) como solución. La gráfica de tales ecuaciones siempre pasará por el origen. Por ejemplo:
y = 2x
(0,0) satisface estas ecuaciones, lo que significa que es una de las soluciones y la gráfica de esta ecuación ahora debe pasar por el origen. Tracemos su gráfico encontrando otras soluciones.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 0 | 2 | 4 | 6 |
Note que estas ecuaciones están en la forma
y = kx
La constante ‘c’ es siempre cero en este caso. Si no es cero, estas ecuaciones no pueden tener (0, 0) como solución.
Veamos ejemplos de problemas relacionados con estos conceptos que estudiamos hasta ahora.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Da una representación geométrica de 5x + 2y = 10.
Responder:
Averigüemos las soluciones de esta ecuación. Suponga valores para una variable, reduzca la ecuación a una forma de variable única y luego encuentre el valor para otra variable.
X 0 1 2 … y 2 2.5 0 ….
Pregunta 2: Da una representación geométrica para x = 10.
Solución:
Como se explicó en las secciones anteriores, esto se puede representar como,
x + 0.y = 10
Ahora para x = 10 y cualquier otro valor de «y» funcionará. Entonces, las soluciones son (10,y) donde y puede ser cualquier cosa.
Pregunta 3: Trace el gráfico de la ecuación 4x = 2y.
Solución:
Averigüemos las soluciones de esta ecuación. Suponga valores para una variable, reduzca la ecuación a una forma de variable única y luego encuentre el valor para otra variable.
X 0 1 2 … y 0 2 4 ….
Pregunta 4: Tenemos una ecuación 3x + ay = 12. Se sabe que (2, 3) es una solución a esta ecuación. Halla el valor de a.
Solución:
La solución de la ecuación debe satisfacerla. (2,3) es una solución.
3(2) + a(3) = 12
⇒ 6 + 3a = 12
⇒ 3a = 6
⇒ a = 2.
Pregunta 5: Sabemos que la fuerza aplicada al cuerpo es directamente proporcional a su aceleración. La proporcional viene dada por la masa del cuerpo. Digamos que tiene un cuerpo de 5Kg. Trace la curva de fuerza y aceleración para este cuerpo.
Solución:
Se da por sentado que la fuerza aplicada al cuerpo es directamente proporcional a su aceleración. Digamos que «F» es la fuerza aplicada y «a» es la aceleración.
F = ka
Aquí, “k” es la constante de proporcionalidad que viene dada por la masa del cuerpo.
Entonces, la ecuación se convierte en
F = 5a
Ahora grafiquemos las soluciones de esta ecuación,
a 0 1 2 3 F 0 5 10 15
Pregunta 6: Dar la representación geométrica de y = 5 como
- Una ecuación variable
- Ecuación de dos variables
Solución:
1. Ecuación de una variable.
y = 5 solo tiene una solución, y = 5. Se puede representar en la recta numérica
2. Ecuación de dos variables
y = 5 se puede representar como 0.x + y = 5.
Trazando las soluciones a esto,
X 0 2 -10 y 5 5 5
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA