Problema-: Demostrar que ( I, + ) es un grupo abeliano. es decir, el conjunto de todos los enteros I forman un grupo abeliano con respecto a la operación binaria ‘+’.
Solución-:
Conjunto= I ={ ……………..-3, -2 , -1 , 0, 1, 2 , 3……………… }.
Operación Binaria= ‘+’
Estructura Algebraica= (I ,+)
Tenemos que probar que (I,+) es un grupo abeliano.
Para demostrar que el conjunto de enteros I es un grupo abeliano, debemos satisfacer las siguientes cinco propiedades: propiedad de cierre, propiedad asociativa, propiedad de identidad, propiedad inversa y propiedad conmutativa.
1) Propiedad de cierre
∀ un , segundo ∈ yo ⇒ un + segundo ∈ yo
2,-3 ∈ yo ⇒ -1 ∈ yo
Por lo tanto, se cumple la propiedad de cierre.
2) Propiedad Asociativa
( un+ segundo ) + do = un+( segundo +c) ∀ un , segundo , do ∈ yo
2 ∈ yo, -6 ∈ yo, 8 ∈ yo
Entonces, LHS= ( a + b )+c
= (2+ ( -6 ) ) + 8 = 4
RHS= un + ( segundo + c )
=2 + (-6 + 8) = 4
Por lo tanto RHS = LHS
La propiedad asociativa también se satisface
3) Propiedad de identidad
un + 0 = un ∀ un ∈ yo , 0 ∈ yo
5 ∈ yo
5+0 = 5
-17 ∈ yo
-17 + 0 = – 17
La propiedad de identidad también se cumple.
4) Propiedad inversa
un + ( -a ) = 0 ∀ un ∈ yo , -a ∈ yo ,0 ∈ yo
a=18 ∈ I entonces ∋ un número -18 tal que 18 + ( -18 ) = 0
Entonces, la propiedad inversa también se cumple.
5) Propiedad Conmutativa
un + segundo = segundo + un ∀ un , segundo ∈ yo
Sea a=19, b=20
LHS = a + b
= 19+( -20 ) = -1RHS = b + a
= -20 +19 = -1
LSH=RHS
También se cumple la propiedad conmutativa.
Podemos ver que se satisfacen las cinco propiedades. Por lo tanto (I,+) es un Grupo Abeliano.
Nota: (I,+) también es grupoide, monoide y semigrupo.
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Artículo escrito por portalpirate y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA