Ejemplo de grupo abeliano

Problema-: Demostrar que ( I, + ) es un grupo abeliano. es decir, el conjunto de todos los enteros I forman un grupo abeliano con respecto a la operación binaria ‘+’.
Solución-:

Conjunto= I ={ ……………..-3, -2 , -1 , 0, 1, 2 , 3……………… }.

Operación Binaria= ‘+’

Estructura Algebraica= (I ,+)

Tenemos que probar que (I,+) es un grupo abeliano.

Para demostrar que el conjunto de enteros I es un grupo abeliano, debemos satisfacer las siguientes cinco propiedades: propiedad de cierre, propiedad asociativa, propiedad de identidad, propiedad inversa y propiedad conmutativa.
1) Propiedad de cierre

∀ un , segundo ∈ yo ⇒ un + segundo ∈ yo

2,-3 ∈ yo ⇒ -1 ∈ yo

Por lo tanto, se cumple la propiedad de cierre.

2) Propiedad Asociativa

( un+ segundo ) + do = un+( segundo +c) ∀ un , segundo , do ∈ yo

2 ∈ yo, -6 ∈ yo, 8 ∈ yo

Entonces, LHS= ( a + b )+c

= (2+ ( -6 ) ) + 8 = 4

RHS= un + ( segundo + c )

=2 + (-6 + 8) = 4

Por lo tanto RHS = LHS

La propiedad asociativa también se satisface

3) Propiedad de identidad

un + 0 = un ∀ un ∈ yo , 0 ∈ yo

5 ∈ yo

5+0 = 5
-17 ∈ yo
-17 + 0 = – 17

La propiedad de identidad también se cumple.

4) Propiedad inversa

un + ( -a ) = 0 ∀ un ∈ yo , -a ∈ yo ,0 ∈ yo

a=18 ∈ I entonces ∋ un número -18 tal que 18 + ( -18 ) = 0

Entonces, la propiedad inversa también se cumple.

5) Propiedad Conmutativa

un + segundo = segundo + un ∀ un , segundo ∈ yo

Sea a=19, b=20
LHS = a + b
= 19+( -20 ) = -1

RHS = b + a
= -20 +19 = -1
LSH=RHS

También se cumple la propiedad conmutativa.

Podemos ver que se satisfacen las cinco propiedades. Por lo tanto (I,+) es un Grupo Abeliano.

Nota: (I,+) también es grupoide, monoide y semigrupo.

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Artículo escrito por portalpirate y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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