Encuentra las partes real e imaginaria de ei/2

Los números complejos son el superconjunto de los números reales. O podemos decir que los números complejos son parte del sistema numérico en matemáticas. En 1799, el matemático Caspar Wessel descubrió por primera vez los números complejos. Mucho más tarde, Euler introdujo el concepto de nombrar i a √-1. Los números complejos se pueden representar de la siguiente manera:

z = un + yo segundo

donde a y b son los números reales e i es un número imaginario que también se conoce como iota y su valor es √-1. Por ejemplo, considere el número 2/5. Este número se puede escribir como 2/5 + i*0, donde a = 2/5 y b = 0. Una cosa interesante acerca de los números complejos es que multiplicar gráficamente i por un vector hará que el vector gire 90° en sentido antihorario. 

Clasificación de Números Complejos

Los números complejos se clasifican en los siguientes tipos:

1. Número complejo cero: Aquí, a = 0, b = 0 entonces z = 0 + i 0 . Por ejemplo, 0.

2. Número puramente real: aquí, a ≠ 0, b = 0 entonces z = a + i 0 . Por ejemplo, 5, 7, 8.

3. Número puramente imaginario: Aquí, a = 0 , b ≠ 0 entonces z = 0 + ib. Por ejemplo, 9i, -3i, 2i.

4. Número imaginario: aquí, a ≠ 0, b ≠ 0 entonces z = a + i b. Por ejemplo, 2 + 3i, 3 – 13i.

Fórmula de Euler

Esta fórmula se utiliza para establecer la relación entre la función trigonométrica y la función exponencial. La fórmula de Euler es

 e ^{i x} = cos(x) + i * sin(x)

o 

e ^{i π} como cos π + i * sin π

O podemos decir que si cualquier número complejo está en la forma e ^{i x} , entonces puede escribirse como cos(x) + i * sin(x). Esto se llama la fórmula de Euler. Aquí la parte real es cos x y la parte imaginaria es i sen x.

Encuentra las partes real e imaginaria de e ^i/2

Solución:

Sea y la expresión e ^i/2 .

Por lo tanto, t se puede escribir como exp(i/2)

o, t = exp(i * 1/2)

o bien, t = cos(1/2) + i sin(1/2)

o bien, t = 0,87758256189 + i * 0,4794255386

Por lo tanto la parte real es 0.87758256189 y la parte imaginaria es 0.4794255386.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la parte imaginaria y real de e ^{i π}

Solución:

A partir de la fórmula de Euler, podemos escribir e ^{i π} como cos π + i * sin π

cos π = -1 

sen π = 0

Por lo tanto la parte imaginaria es 0 y la parte real es -1

Entonces la ecuación se convierte en e ^{i π} +1 = 0, esta hermosa ecuación se llama identidad de Euler.

Pregunta 2: Encuentra la parte imaginaria y real de 5 + i 6.9

Solución:

Este problema es bastante sencillo. Cuando nos dan un número complejo como este, 

es muy fácil escribir la parte real e imaginaria de la misma.

parte imaginaria del número complejo = 6.9

parte real del numero complejo = 5

Pregunta 3: Encuentra la parte real e imaginaria del número complejo 50.

Solución:

Si un número real se da como un número complejo, entonces está claro que el número complejo no tiene una parte imaginaria.

Entonces la parte imaginaria del número complejo es 0

Y, la parte real del número complejo es 50.

Pregunta 4: Encuentra la parte real e imaginaria del número complejo 9 i.

Solución:

Si un número complejo se da en la forma x i entonces no tiene parte real.

Eso es parte real del número complejo 9 i  es 0

par imaginario es 9 i 

Pregunta 5: Encuentra la parte real e imaginaria del número complejo (2 + 3 i )/(1 + i )

Solución:

En este tipo de problema, necesitamos quitar la i del denominador.

Si un número complejo se da como la razón de dos números complejos diferentes, entonces multiplique el numerador y 

denominador con el conjugado

El complejo conjugado de un número complejo es el número mismo pero con signo opuesto. 

Por ejemplo, el complejo conjugado de un número a + i b es a – i b.

Entonces el complejo conjugado del denominador es 1 – i.  

Multiplicando esto por numerador y denominador obtenemos, 

((2 + 3 i ) * (1 – i )) / (1 + i ) * (1 – i )

= ((2 + 3 i ) * (1 – i )) / (1 – i ² )

= ((2 + 3 i ) * (1 – i )) / (1 – (-1)) 

= ((2 + 3 i ) * (1 – i )) / 2 

= (2(1 – yo ) ) / 2 + (3 yo * (1 – yo ))/2

= 1 – yo + 3 yo /2 + 3/2

= 5/2 + yo /2

 = 2,5 + 0,5 yo 

Por lo tanto la parte real del número complejo es 2.5

y la parte imaginaria del numero complejo es 0.5