Encuentra las partes real e imaginaria del número complejo z = e2 + 4i

Un número se refiere a una palabra o símbolo que representa una cantidad específica. Es solo con la ayuda de números que se realizan múltiples operaciones aritméticas y que estamos listos para desarrollar mucho en el campo de la física y la aritmética. Uno no puede vivir su vida sin el uso de números, incluso para las tareas o tareas más básicas. Incluso el dinero en efectivo intercambiado por mercancías puede tener un cierto valor representado por números. Se emplea un conjunto de números agrupados para asignar a una persona como su número de contacto, tal es el protagonismo de los numerales en nuestras vidas.

tipos de numeros 

Existen diferentes tipos de números basados ​​en diferentes características y propiedades. Números naturales, números enteros, números enteros, números racionales, números irracionales, etc. Veamos sus definiciones,

• Números naturales: Un grupo de números que se emplean para contar ciertos objetos se denominan números naturales. Tal grupo de números comienza con 1 (uno) y continúa hasta el infinito. Cabe señalar que los números naturales incluyen solo números enteros positivos.
• Números Enteros: Un grupo de números que tiene todos los enteros positivos y 0.
• Números enteros: un número entero se define intrínsecamente como un número entero que asumirá un valor positivo, negativo o ningún valor mínimo.
• Números racionales: estos números se pueden expresar en forma de fracción. Estos números tienen una expansión decimal terminal.
• Números irracionales: estos números no se pueden expresar como una fracción.
• Números reales: tales números incluyen tanto los números racionales como sus contrapartes irracionales.

números reales e imaginarios

Tales números que incluyen tanto números racionales como sus contrapartes irracionales se llaman números reales. Se basan en el concepto de una recta numérica, siendo el cero el origen y todos los números a su derecha, positivos, y los de la izquierda del origen, negativos.

A menudo sucede que al resolver ecuaciones cuadráticas, el discriminante resulta ser un valor negativo debajo de la raíz cuadrada. Esto puede sonar imposible porque, siguiendo la regla general de las matemáticas, el cuadrado de un número negativo es un número positivo, por lo que no tiene sentido que un cuadrado perfecto o cualquier número real, para el caso, sea negativo y esté bajo la raíz por completo. . Sin embargo, los números también se pueden representar como la raíz cuadrada de un número negativo en matemáticas. Por ejemplo,  es un número imaginario, ya que representa el número 100, que es un cuadrado perfecto como un número negativo bajo una raíz cuadrada. Dichos números no son tangibles, pero aún así son reales en el sentido de que se usan en matemáticas. En otras palabras, los números imaginarios son números opuestos a los números reales. No se basan en el concepto de la recta numérica y, como resultado, no se pueden representar ni trazar en una. Otra forma de definir un número imaginario podría ser un número que arroja un resultado negativo cuando se multiplica por sí mismo, es decir, al cuadrado.

Representar un número imaginario sin la parte de la raíz cuadrada

Un número imaginario, cuando se escribe sin usar la expresión aritmética raíz, se puede escribir como un número real, multiplicado por un iota, representado i, que es una unidad imaginaria y iota (i) = √(-1).

Por lo tanto,   se puede escribir como  = 10√(-1) = 10i.

poderes de i

• yo = √-1
• yo ² = -1
• yo ³ = yo × yo ² = yo × -1 = -i
• yo ⁴ = yo ² × yo ² = -1 × -1 = 1
• yo ⁵ = yo × yo ⁴ = yo
• yo ⁶ = yo × yo ⁵ = yo × yo = yo ² = -1
• yo ⁷ = yo × yo ⁶ = yo × -1 = -i
• yo ⁸ = (yo ² ) ⁴ = (-1) ⁴ = 1
• yo ⁹ = yo × yo ⁸ = yo × 1 = yo
• yo ¹⁰ = yo × yo ⁹ = yo × yo = yo ² = -1

Siguiendo este patrón, se puede concluir que i repite sus valores después de cada 4ª ^potencia .

Números complejos

Un número complejo puede llamarse un híbrido de números reales e imaginarios, siendo el número real o constituyente cualquier fracción, entero racional o irracional y su parte imaginaria representada como un número real en multiplicación con la unidad imaginaria iota, representada i. Así, un número complejo muestra un número real y un número imaginario combinados por cualquiera de estas dos operaciones aritméticas, suma y resta.

Forma estándar de un número complejo

Un número complejo, en su forma estándar, se expresa como a + ib, donde a y b son números reales, pero b está en la multiplicación con la variable imaginaria i, representa la parte imaginaria del número complejo entero, que se puede denotar por ‘z’. Por lo tanto, un número complejo generalmente se escribe en la forma z = a + ib, donde a representa la parte real e ib o bi sería el constituyente imaginario. De hecho, 0 + bi también se consideraría como un número complejo en el que la parte real no existe y bi representa su contraparte imaginaria.

Ejemplos

• 5 + 2i es un número complejo, donde 5 es la parte real y 2i representa la parte imaginaria.
• e ² + 12i es un número complejo, donde e ² es la parte real y 12i es la parte imaginaria.
• √22 – 162i es un número complejo, donde √22 es la parte real y 162i es la parte imaginaria.

Encuentra las partes real e imaginaria del número complejo z = e ² + 4i.

Solución:

Un número complejo generalmente se escribe en la forma z = a + ib, donde a representa la parte real e ib o bi sería el constituyente imaginario.

Por tanto, parte real = e ² y parte imaginaria = 4i.

Problemas similares

Pregunta 1: Encuentra las partes real e imaginaria de e ^-2 + i13.

Solución:

Un número complejo generalmente se escribe en la forma z = a + ib, donde a representa la parte real e ib o bi sería el constituyente imaginario.

Parte real = e ^-2 = 1/ e ² y parte imaginaria = 13i.

Pregunta 2: Encuentra las partes real e imaginaria de e ^z si z = x + iy.

Solución:

e ^z = e ^{x + iy}

= e ^x (acogedor + isiny)

= e ^x cos y + e ^x iseno

Por lo tanto, la parte real = e ^x cos y y la parte imaginaria = e ^x isiny.

Pregunta 3: Encuentra las partes real e imaginaria de 3i ²⁰ – i ¹⁹ .

Solución:

Claramente, i ²⁰ = 1 y i ¹⁹ = i.

Entonces, la expresión se convierte en 3(1) – i 

= 3 – yo

Por lo tanto, la parte real = 3 y la parte imaginaria = 1.

Pregunta 4: Encuentra las partes real e imaginaria del número q si q ∈ R.

Solución:

q ∈ R, q es un número real, lo que implica que no tiene ninguna parte imaginaria. Alternativamente, se puede decir que el coeficiente de i es cero.

Por tanto, la parte real y la parte imaginaria de q para todo q ∈ R son q y cero respectivamente.

Pregunta 5: Encuentra las partes real e imaginaria de 10i ¹⁰⁰ + 2i ⁹⁹ .

Solución:

Claramente, i ¹⁰⁰ = 1 y i ⁹⁹ = -i

Entonces, la expresión se convierte en 10(1) + 2(-i)

= 10 – 2i

Por lo tanto, la parte real = 10 y la parte imaginaria = 2.