Encuentre el valor de tan 30°

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de la relación de los lados con los ángulos en un triángulo. Con la trigonometría es fácil encontrar las alturas de grandes montañas o torres, también en astronomía se usa para encontrar la distancia entre estrellas o planetas y es muy utilizada en física, arquitectura y sistemas de navegación GPS.

La trigonometría se basa en el principio de que “si dos triángulos tienen el mismo conjunto de ángulos, entonces sus lados están en la misma proporción”. La longitud de los lados puede ser diferente, pero las proporciones de los lados son las mismas.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas también se llaman funciones circulares o razones trigonométricas. La relación de ángulos y lados está representada por estas funciones trigonométricas. Hay seis funciones trigonométricas Seno, Coseno, Tangente, Cosecante, Secante, Cotangente. 

1. Sin = Perpendicular/ Hipotenusa
2. Cos = Base/Hipotenusa
3. Bronceado = Perpendicular/Base
4. Cuna = Base/Perpendicular
5. Sec = Hipotenusa/Base
6. Cosec = Hipotenusa/Perpendicular

Perpendicular, base e hipotenusa son los tres lados del triángulo rectángulo. Aprendamos sobre estos términos en detalle,

• Perpendicular : el lado frente al ángulo es perpendicular . En este caso, el lado frente a 30° se llama su perpendicular.
• Base : una base es uno de los lados que toca un ángulo, pero la hipotenusa nunca se puede considerar como base.
• ¿Qué es la hipotenusa ? El lado opuesto al ángulo recto (90°) se llama hipotenusa, es el lado más largo.

Nota: la perpendicular y la base no son fijas para un triángulo. En un triángulo, un lado es perpendicular a un ángulo, pero el mismo lado es una base para otro ángulo.

Como se muestra en el diagrama anterior para el mismo triángulo si, considerado un ángulo de 30°, la perpendicular es el lado PQ, pero si consideramos un ángulo de 60°, nuestra perpendicular es el lado QR.

Encuentre el valor de tan 30°.

Solución:

Para calcular tan 30°, tome razones de su perpendicular y su base. Para lo cual calcule la longitud de la perpendicular y la base. Para encontrar las longitudes de los lados nos ayudamos de un triángulo equilátero. 

• Toma un triángulo equilátero de 2 m de lado.
• Ahora desde cualquier vértice dibuja una altitud.
• La altura dibujada divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos.
• Ahora tenemos una longitud de dos lados en el triángulo rectángulo.
• El tercer lado se calcula mediante el teorema de Baudhayan o el teorema de Pitágoras.

La altitud en el triángulo equilátero biseca el ángulo y el lado, por lo que el ángulo DAC es de 30 ° y el lado DC es de 1 m.

Sea x la longitud del lado AD.

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ADC.

P ² + B ² = H ² 

DA ² + CC ² = CA ²

x ² + 1 ² = 2 ²

x2 + ¹ = 4

x2 = ³

X = √3

Entonces, tan 30° = DC/AD

Tan30° = 1/√3

Una vez calculadas en todos los lados, también se pueden encontrar otras razones trigonométricas, como:

1. sen 30° = 1/2
2. coseno 30° = √3/2

Problemas de muestra

Pregunta 1: En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 30° y la base de 30° mide 3m. Encuentra la longitud de la perpendicular.

Solución:

Dado: Base = 3m

Bronceado 30 = 1/√3

P/B = 1/√3   

P/3 = 1/√3   

p = √3  

Pregunta 2: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 20 cm y un lado mide 10√3 cm, encuentra los ángulos del triángulo.

Solución:

Dado: H = 20 y B = 10√3

Encontrar el tercer lado usando el teorema de Pitágoras.

P ² + B ² = H ² 

PAG ² + (10√3) ² = 20 ²

pag ² + 300 = 400

P2 ⁼ 100

p = 10

El tercer lado mide 10 cm. La razón de los dos lados 10cm y 10√3cm es 1/√3, Entonces debe haber un ángulo de 30° en el triángulo Como el triángulo es un ángulo recto, entonces el tercer ángulo es

90° – 30° = 60°

Los ángulos de un triángulo son 30°, 60°, 90°.