Encuentre la función de potencia a la que se parece la gráfica de f para valores grandes de |x|, dada la función f(x) = (x + 6)2 (x – 2)2

Las matemáticas no se tratan solo de números, sino de tratar con diferentes cálculos que involucran números y variables. Esto es lo que básicamente se conoce como Álgebra. El álgebra se define como la representación de cálculos que involucran expresiones matemáticas que consisten en números, operadores y variables. Los números pueden ser del 0 al 9, los operadores son los operadores matemáticos como +, -, ×, ÷, exponentes, etc., variables como x, y, z, etc.

Exponentes y Potencias

Los exponentes y las potencias son los operadores básicos utilizados en los cálculos matemáticos, los exponentes se utilizan para simplificar los cálculos complejos que involucran múltiples automultiplicaciones, las automultiplicaciones son básicamente números multiplicados por sí mismos. Por ejemplo, 7 × 7 × 7 × 7 × 7, puede escribirse simplemente como 7 ⁵ . Aquí, 7 es el valor base y 5 es el exponente y el valor es 16807. 11 × 11 × 11, se puede escribir como 11 ³ , aquí, 11 es el valor base y 3 es el exponente o potencia de 11. El valor de 11 ³ es 1331.

Exponente se define como la potencia que se le da a un número, el número de veces que se multiplica por sí mismo. Si una expresión se escribe como cx ^y donde c es una constante, c será el coeficiente, x es la base e y es el exponente. Si un número, digamos p, se multiplica n veces, n será el exponente de p. se escribirá como

p × p × p × p … n veces = p ⁿ

Funciones

Una función se puede definir como el conjunto de reglas relacionadas con un conjunto dado de entradas que proporcionan algunas salidas posibles. Solo aquellas expresiones se denotan como funciones en las que hay una salida para una entrada. ¿Puede haber dos entradas para la misma salida? Sí. Sin embargo, no puede haber dos salidas para una sola entrada.

Las funciones se pueden representar como f(x), g(x), h(x), etc. Aquí, f(x) es la salida para un valor dado de entrada en el polinomio. Por ejemplo, el valor de f(x) para x = -2 en la función f(x) = 2x + 20 será 16. Se obtiene colocando el valor de x en la expresión y resolviéndola.

Funciones de multiplicación y división

Para poder multiplicar o dividir dos funciones, el primer requisito es entender que la multiplicación y la división son multiplicaciones y divisiones matemáticas básicas. Así como los números se multiplican o dividen, de manera similar, los polinomios se multiplican y dividen. Se pueden representar como f(x).g(x) para la multiplicación y f(x)/g(x) para la división.

Función de potencia

El producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo o a un número natural se conoce como función potencia. En palabras simples, una función de potencia se puede denotar como una variable elevada a un número real. Una función de potencia se representa como y = x ^R donde R es cualquier número real. Por ejemplo, y = x ² es una función de potencia, y = 1/x también es una función de potencia, y así sucesivamente. 

Pregunta: Encuentre la función de potencia a la que se asemeja la gráfica de f para valores grandes de |x|, dada la función f(x) = (x + 6) ² (x – 2) ² .

Solución:

Primero expanda la expresión en la RHS usando la siguiente fórmula,

• (a + b) ² = a ² + b ² + 2ab
• (a – b) ² = a ² + b ² – 2ab

f(x) = (x2 ⁺ 36 + 12x)(x2 + ⁴ – 4x)

Ahora, multiplica ambos términos,

f(x) = (x ⁴ + 4x ² – 4x ³ + 36x ² + 144 – 144x + 12x ³ + 48x – 48x ² )

f(x) = x ⁴ + 8x ³ – 18x ² – 96x + 144)

Como está claro que el grado de la función es 4. Por lo tanto, la función potencia a la que se asemeja la gráfica de f para valores grandes de |x| es x4 ^_

Problemas similares

Pregunta 1: Dada la función f(x) = x ⁵ + 56x ⁴ – 78x + 2. Encuentra la función de potencia a la que se parece la gráfica de f.

Solución:

Dado que la función dada en la pregunta ya está expandida. Por lo tanto, no hay ningún requisito de expandir la función.

f(x) = x ⁵ + 56x ⁴ – 78x + 2

Como es claro que el grado de la función es 5. Por lo tanto, la función potencia a la que se parece la gráfica de f es x ⁵ .

Pregunta 2: Dada la función f(x) = (x + 1) ² (x – 1) ² . Encuentre la función de potencia a la que se parece la gráfica de f para valores grandes de |x|.

Solución:

Primero expanda la expresión en la RHS usando la siguiente fórmula,

• (a + b) ² = a ² + b ² + 2ab
• (a – b) ² = a ² + b ² – 2ab

f(x) = (x2 + ¹ + 2x)(x2 + ¹ – 2x)

Ahora, multiplica ambos términos,

f(x) = (x ⁴ + x ² – 2x ³ + x ² + 1 – 2x + 2x ³ + 2x – 4x ² )

f(x) = x4 ^– 2×2 + 1 ⁾

Como está claro que el grado de la función es 4. Por lo tanto, la función potencia a la que se asemeja la gráfica de f para valores grandes de |x| es x4 ^_

Pregunta 3: Dada la función f(x) = (x ⁵ ) (x + 3) ² . Encuentre la función de potencia a la que se parece la gráfica de f para valores grandes de |x|.

Solución:

Primero expanda la expresión en la RHS usando la siguiente fórmula,

(a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

f(x) = (x2 ^{+ 9} + 6x)(x5 )

Ahora, multiplica ambos términos,

f(x) = (x ⁷ + 9x ⁵ + 6x ⁶ )

Como está claro que el grado de la función es 7. Por lo tanto, la función potencia a la que se asemeja la gráfica de f para valores grandes de |x| es ^x7 _