Encuentre todas las soluciones de la ecuación 213-8p3=0

Un número complejo es un número que se puede escribir en la forma a + bi, donde a y b son números reales e   “i” es un número imaginario llamado “iota” . El valor de i = (√-1). 

Por ejemplo, 

1. 2+ 3i es un número complejo
2. 3-5i es un número complejo
3. -4+9i es un número complejo
4. -2-7i es un número complejo

Un número complejo simplemente consta de dos partes, una parte real y una parte imaginaria. 

Los números complejos se encontraron resolviendo la ecuación x ² +1 = 0. Las raíces de la ecuación son de la forma x = ±√-1 y no existen raíces reales. Así fue como se introdujeron los números complejos. 

Encuentre todas las soluciones de la ecuación 213-8p ³ =0 

Solución:

Dado que ,

213-8p ³ = 0

=>8p ³ -213 = 0

=>p ³ -(213/8) = 0 — dividiendo ambos lados por 8

=>(p) ³ – {(213/8) ^1/3 } ³ = 0

Dado que la ecuación dada es cúbica, debe haber 3 raíces.

Sea r = p y, s = (213/8) ^1/3 = 2.986 (aproximadamente)

Ahora,

r ³ -s ³ = 0

(rs)(r2 ⁺ rs+s2 ⁾ = 0

entonces, rs=0 => r=s [ poner valor de s ] —eq(1 )

ahora, (r ² +rs+s ² )=0

para resolver esta ecuación, sea una ecuación cuadrática en r , a=1, b=s, c=s ²

asi que, 

re = segundo ² -4ac = s ² -4( 1 )( s ² ) = -3s ²

r = ( -b ± √d ) / 2a –fórmula de raíces en ecuación cuadrática

= ( -s ± √(-3s ² ) )/2( 1 )

= ( -s ± √3si )/2 — donde i = √(-1)

= s ( -1 ± √3i ) /2     

Entonces, raíz cúbica de un número que tiene tres soluciones {x ³ – s =0} –fórmula (1)

1.  x = s ^1/3
2.  x = s ^1/3 ( -1 + √3i )/2 
3.  x = s ^1/3 ( -1 – √3i )/2

entonces, las soluciones para la ecuación dada son s ^1/3 =(213/8) ^1/3 =2.986

1.  2.986
2. 2.986( -1 + √3i ) /2
3. 2.986( -1 – √3i ) /2

Forma polar de un número complejo z = x + iy

z = r (cosθ + i senθ ) ,

donde, r = √( x ² + y ² ) y tanθ = x/y

Entonces, aquí tenemos 3 números complejos 
z ₁ = 2.986 + i (0)
z ₂ = 2.986 ( -1 + √3i ) /2  
z ₃ = 2.986 ( -1 – √3i ) /2  

para z ₁ , 

r = √( 2.985 ² + 0 ² ) 

  = 2.985 , 

tanθ = 0/2.985  

=> θ = 0

z ₁ = 2.985( cos(0) + i sen(0) )            –(1)

para z ₂ , 

r = √( (-2.985) ² ( 1 ² + raíz cuadrada (3) ² ) ) 

= -2.985 ( 2 ) = -5.97 , 

tanθ = -√(3/1) 

=> θ = -60

z ₂ = 5.97( cos(60) – i sen(60) )            –(2)

para z ₃ , 

r = √( (-2.985)2 ( 1 ² + sqrt(3)2 ) ) 

= -2,985 ( 2 ) = -5,97

tanθ =√(3/1 )

=> θ =60

z ₃ = 5.97( cos(60) + i sen(60) )            –(3)

Problemas basados ​​en la solución de ecuaciones cúbicas usando números complejos

Problema 1: p ³ -64=0 , encuentra soluciones.

Solución:

al compararlo con x ³ -s=0 usando la fórmula (1) de la explicación anterior
s=64 
s ^1/3 =64 ^1/3 =4 de
acuerdo con el enfoque discutido anteriormente, las tres soluciones siguen en la forma normal 
x=s ^{1 /3} = 4 
 x=s ^1/3 ( -1 + √3i )/2 = 4( -1 + √3i ) /2 = 2( -1 + √3i ) 
x=s ^1/3 ( -1 – √ 3i )/2 = 4( -1 – √3i ) /2 = 2( -1 – √3i ) 
 

Problema 2: p ³ -343=0, encontrar soluciones.

Solución:  

al compararlo con x ³ -s=0 usando la fórmula (1) de la explicación anterior
s=343 
s ^1/3 =343 ^1/3 =7 de
acuerdo con el enfoque discutido anteriormente, las tres soluciones siguen en la forma normal
x=s ^{1 /3} =7
 x=s ^1/3 ( -1 + √3i )/2 = 7( -1 + √3i ) /2
x=s ^1/3 ( -1 – √3i )/2 = 7( -1 – √3i ) /2
 

Problema 3: p ³ -27=0, encontrar soluciones.

Solución: 

al compararlo con x ³ -s=0 usando la fórmula (1) de la explicación anterior
s=27
s ^1/3 =27 ^1/3 =3 de
acuerdo con el enfoque discutido anteriormente, las tres soluciones siguen en la forma normal
x=s ^{1 /3} =3
 x=s ^1/3 ( -1 + √3i )/2 = 3( -1 + √3i ) /2
x=s ^1/3 ( -1 – √3i )/2 = 3( -1 – √3i ) /2

Problema 4: p ³ -125=0, encontrar soluciones.

Solución:

 al compararlo con x ³ -s=0 usando la fórmula (1) de la explicación anterior
s=125
s ^1/3 =125 ^1/3 =5 de
acuerdo con el enfoque discutido anteriormente, las tres soluciones siguen en la forma normal
x=s ^{1 /3} =5
 x=s ^1/3 ( -1 + √3i )/2 = 5( -1 + √3i ) /2
x=s ^1/3 ( -1 – √3i )/2 = 5( -1 – √3i ) /2