Encuentre un número complejo a + bi tal que a2 + b2 sea irracional

Los números reales e imaginarios se combinan para formar números complejos. El componente imaginario, I (iota), indica una raíz cuadrada de -1. La parte imaginaria de un número complejo es i. a + ib es una representación típica de números complejos en su forma rectangular o estándar. 420 + 69i, por ejemplo, es un número complejo en el que 420 representa la parte real y 69 representa la parte imaginaria.

Módulo

Cuando se presenta un número complejo en un gráfico, su parte real se representa en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. Digamos que si el número fuera representado por el punto P en la figura que se muestra a continuación, los triángulos OPA y OPB serían ambos rectángulos. Claramente, en el triángulo rectángulo POA, PO es la hipotenusa; Oa es la base y Pa es la perpendicular. Usando el Teorema de Pitágoras, tenemos:

OP ² = AO ² + PA ²

OP = $\sqrt{OA^2 + PA^2}$

El valor absoluto de un número complejo se considera su módulo. Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus partes real e imaginaria. En el caso anterior, OP es el módulo del número complejo de la forma z = a + ib, y se denota por r.

Encuentre un número complejo a + bi tal que a ² + b ² sea irracional.

Solución:

Un número irracional es el que se puede expresar en forma de a/b, donde b ≠ 0, como √2, √3, etc.

Digamos que nos dan el número complejo 1 + $\sqrt[3]{4}$ .

Comparando esto con la forma a + ib, tenemos:

a = 1, b = $\sqrt[3]{4}$

Ahora, a ² + b ² = $1^2 + (\sqrt[3]{4})^2$

= 1 + 4 ^2/3

Claramente, 4 ^2/3 no se puede expresar en forma de a/b. Por lo tanto, es un número irracional.

Problemas similares

Pregunta 1. Demuestra que el cuadrado del módulo de $\sqrt[3]2i$ es irracional.

Solución:

Comparando esto con la forma a + ib, tenemos:

a = 0, b = $\sqrt[3]2$

Ahora, a ² + b ² = $0^2 + (\sqrt[3]2)^2$

= 2 ^2/3

Claramente, 2 ^2/3 no se puede expresar en forma de a/b. Por lo tanto, es un número irracional.

Pregunta 2. Demuestra que el cuadrado del módulo de $\sqrt[5]2i$ es irracional.

Solución:

Comparando esto con la forma a + ib, tenemos:

a = 0, b = $\sqrt[5]2$

Ahora, a ² + b ² = $0^2 + (\sqrt[5]2)^2$

= 2 ^2/5

Claramente, 2 ^2/5 no se puede expresar en forma de a/b. Por lo tanto, es un número irracional.

Pregunta 3. Demuestra que el cuadrado del módulo de 3+ $\sqrt[3]2i$ es irracional.

Solución:

Comparando esto con la forma a + ib, tenemos:

a = 3, b = $\sqrt[3]2$

Ahora, a ² + b ² = $3^2 + (\sqrt[3]2)^2$

= 9 + 2 ^2/3

Claramente, 2 ^2/3 no se puede expresar en forma de a/b. Por lo tanto, es un número irracional.

Pregunta 4. Demuestra que el cuadrado del módulo de $4 + i\sqrt[3]8$ es racional.

Solución:

Comparando esto con la forma a + ib, tenemos:

a = 4, b = $\sqrt[3]8$ = 2

Ahora, a ² + b ² = 4 ² + 2 ²

= 20

Claramente, 20 se puede expresar en forma de a/b. Por lo tanto, es un número racional.

Pregunta 5. Demuestra que el cuadrado del módulo de 10+ $\sqrt[3]2i$ es irracional.

Solución:

Comparando esto con la forma a + ib, tenemos:

a = 10, b = $\sqrt[3]2$

Ahora, a ² + b ² = $10^2 + (\sqrt[3]2)^2$

= 100 + 2 ^2/3

Claramente, 2 ^2/3 no se puede expresar en forma de a/b. Por lo tanto, es un número irracional.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por parmaramolaksingh1955 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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