Estimación de límites a partir de tablas

Los límites nos dicen mucho sobre el comportamiento de la función. Ayudan a matemáticos e ingenieros a razonar sobre la función, su comportamiento y sus propiedades. Forman la base de casi todos los conceptos importantes del cálculo. Los límites nos ayudan a estimar los valores que la función parece estar tomando en un punto particular. A menudo, estos límites son simples y se pueden calcular fácilmente, pero a veces estos límites se evalúan de alguna forma indeterminable, para resolverlos hay muchas técnicas y trucos. Resolver límites usando tablas es uno de los métodos que funciona para casi todos los tipos de límites.

Límite

Los límites son los valores que aparentemente toma la función en un punto en particular. Para una función particular f(x) definida en números reales, el límite de la función en cualquier punto x = c se denota como $\lim_{x \to c}f(x)$ . Tenga eso en cuenta, los límites no son el valor de la función en un punto en particular, el límite representa el valor que la función parece estar tomando cuando uno se acerca al punto. Por lo general, los límites se abordan tanto desde el lado izquierdo como desde el lado derecho del punto.

A menudo, los límites se pueden calcular mediante una simple sustitución, pero a veces algunos límites adoptan formas que no están definidas. Estas formas se llaman formas indeterminables. Ejemplos de formas indeterminables son $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ , 0 x ∞ etc.

Utilizando tablas se pueden evitar todos estos problemas y formularios. Veamos eso en detalle.

Aproximación de límites usando tablas

Las tablas son una buena herramienta que se puede utilizar para razonar sobre los límites. El uso de tablas también se ocupa de las formas indeterminables del límite. Este método consiste en calcular el valor de la función en los puntos cercanos al punto en el que se supone que debemos calcular el límite. Estimar los límites de esta manera es mucho mejor que mirar a simple vista las gráficas de las funciones. Consideremos un ejemplo para ver cómo funciona este método tomando una función f(x) = x – 1 y calculando el límite para esta función en x = 0.

$\lim_{x \to 0}x - 1 = -1$

Calculemos este valor usando tablas. La forma es calcular el valor de la función en diferentes valores de x. El objetivo es llegar infinitamente cerca del punto objetivo pero no en el punto objetivo. Tenga en cuenta que al crear la tabla, la función debe abordarse tanto desde el lado izquierdo como desde el derecho.

Pasos para el cálculo de límites a través de tablas:

Comience desde los puntos que están infinitamente cerca del punto objetivo.

Acérquese al punto objetivo desde la izquierda y acérquese infinitamente mientras evalúa la función para cada punto.

Repita lo mismo desde el lado derecho.

La tabla que se crea tendrá valores que son casi iguales y dará una estimación del límite en ese punto.

X	f(x)
-0.1	-1.1
-0.05	-1.05
-0.001	-1.001
0.001	0.999
0.05	0,95

Observe en la tabla, a medida que nos acercamos más y más a x = 0 desde cualquier lado, el valor de la función se aproxima al valor -1.

De este modo, $\lim_{x \to 0}x - 1 = -1$

Nota: Al completar la tabla, se deben tener en cuenta algunas cosas para obtener el valor correcto del límite:

No asuma que el valor de la función es el valor del límite. A veces puede haber una discontinuidad en la función, puede parecer que la función va a tomar un valor particular, pero el valor real en ese punto es diferente. A menudo ocurre en los puntos donde la función es discontinua o indefinida.

Acérquese desde ambos lados del punto.

Acérquese siempre lo más posible al punto.

Límite unilateral de tablas

Si bien se solicitan límites unilaterales, las tablas generalmente se completan con valores que son bot mayores y menores que el punto en el que se calculará el límite. En otras palabras, deben calcularse los límites izquierdo y derecho. En los límites unilaterales, las tablas se rellenan con el lado izquierdo del punto o con el lado derecho del punto.

Veamos esto a través de un ejemplo.

Ejemplo: Considere un ejemplo, para la función f(x) = x ² . Calcular $\lim_{x \to 0^{+}}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 0.

X f(x)

0.1 0.01

0.05 0.0025

0.001 0.000001

0.0005 0.00000025

0.0001 0.00000001

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 0.

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = 0$

Veamos algunos problemas con este concepto.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Considere un ejemplo, para la función f(x) = x ² Calcular $\lim_{x \to 1}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 1}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 1.

X f(x)

0.9 0.81

0,95 0.9025

0.99 0.9801

0.999 0.99801

1.001 1.002

1.01 1.02

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 1.

$\lim_{x \to 0}f(x) = 1$

Pregunta 2: Considere un ejemplo, para la función f(x) = 5x. Calcular $\lim_{x \to 0}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 0}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 0.

X f(x)

-0.1 -0.5

-0.05 -0.25

-0.001 -0.005

0.001 0.005

0.01 0.05

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 0.

$\lim_{x \to 0}f(x) = 0$

Pregunta 3: Considere un ejemplo, para la función f(x) = $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Calcular $\lim_{x \to 1}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 1}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 1.

X f(x)

0.999 1.999

0.9999 1.9999

0.99999 1.99999

1.00001 2.00001

1.0001 2.0001

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 2.

$\lim_{x \to 1}f(x) = 2$

Pregunta 4: Considere un ejemplo, para la función f(x) = $\frac{1}{x + 1}$ . Calcular $\lim_{x \to 2}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 2}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se completa solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 2.

X f(x)

1.999 0.33344448

1.9999 0.33334444

1.99999 0.33333444

2.00001 0.33333222

2.0001 0.33332222

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 0.333.

$\lim_{x \to 1}f(x) = 0.333$

Pregunta 5: Considere un ejemplo, para la función f(x) = $\frac{sin(x)}{x}$ . Calcular $\lim_{x \to 0}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 0}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 0.

X f(x)

-0.1 0.99833

-0.01 0.99998

-0.001 0.99999

0.001 0.99999

0.01 0.99998

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 1.

$\lim_{x \to 1}f(x) = 1$

Pregunta 6: Considere un ejemplo, para la función f(x) = |x|. Calcular $\lim_{x \to 0}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 0}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 0.

X f(x)

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

0.001 0.001

0.01 0.01

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 0.

$\lim_{x \to 1}f(x) = 0$

Pregunta 7: Considere un ejemplo, para la función f(x) = log(x). Calcular $\lim_{x \to 1}f(x)$

Solución:

$\lim_{x \to 1}f(x)$

Esto significa que se solicita el valor del límite del lado derecho. En este caso, la tabla se llena solo con los valores que se encuentran en el lado derecho de x = 1.

X f(x)

0.999 0.000434

0.9999 0.0000434

0.99999 0.00000434

1.00001 0.00000434

1.0001 0.0000434

Observe en la tabla que el valor del límite se acerca al valor 0.

$\lim_{x \to 1}f(x) = 0$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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