Siempre que se realiza un experimento cuyos resultados no se pueden predecir con certeza, se le llama experimento aleatorio. Por ejemplo, al lanzar una moneda, nadie puede predecir el resultado: ¿será cara o cruz? En tales casos, solo podemos medir cuál de los eventos es más o menos probable que suceda. Esta probabilidad de eventos se mide en términos de probabilidad. Los resultados se denominan eventos, por ejemplo, en el experimento mencionado anteriormente, obtener cara o cruz se denomina evento. Los eventos también se pueden clasificar en diferentes categorías. Estudiemos esas categorías en detalle.
Eventos y Espacios Muestrales
Cuando se realiza un experimento, hay resultados que son posibles pero ninguno de ellos se puede predecir. En el campo de la probabilidad y la estadística. Se vuelve esencial hacer una lista de los posibles resultados totales de cualquier experimento. Considere un experimento de lanzar una moneda dos veces, la figura demuestra la cantidad de posibilidades en tales ensayos.
De la figura, es obvio que hay cuatro resultados posibles. El espacio muestral es el conjunto de resultados posibles totales.
S = {HH, HT, JU, TT}
Eventos
Un evento se describe como un conjunto de resultados. Por ejemplo, sacar cruz en el lanzamiento de una moneda es un evento, mientras que todos los resultados pares al lanzar un dado también constituyen un evento.
Un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Ocurrencia de un evento
Considere un experimento de lanzar un dado. Digamos que el evento E se define como obtener un número par. Entonces, si sale un número 4, se dice que ha ocurrido el evento E.
Entonces, se dice que ha ocurrido un evento E de un espacio muestral S si el resultado w del experimento es tal que w ∈ E. Cuando un resultado es tal que no pertenece al conjunto E. Se dice que no ha ocurrió.
Tipo de Eventos
Ahora está claro que los eventos son subconjuntos del espacio muestral. Es esencial comprender la diferencia entre los diferentes tipos de eventos que pueden ocurrir al realizar experimentos aleatorios. Esta comprensión de los eventos nos ayuda a calcular las probabilidades de experimentos aleatorios simples y complejos. Sabemos que los eventos son básicamente ambientados, por lo que se pueden clasificar en función de los elementos que tengan. La siguiente lista proporciona los diferentes tipos de eventos:
- Eventos imposibles y seguros
- Evento sencillo
- Evento compuesto
Vamos a verlos uno por uno.
Eventos imposibles y seguros
Para obtener una intuición para este tipo de evento, considere un experimento en el que lanzamos un dado. Ahora definamos un evento que consta de resultados que son múltiplos de 7. El espacio muestral para este evento se denota por S,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ahora, dado que no hay ningún resultado en el espacio muestral que sea un múltiplo de 7, entonces, el conjunto del evento E será un conjunto vacío.
Dado que este tipo de eventos son imposibles y pueden describirse mediante un conjunto vacío ∅. Estos se llaman eventos imposibles y seguros.
Evento sencillo
Cuando un evento consta de un solo punto del espacio muestral, este evento se denomina evento simple .
Considerando el ejemplo anterior de dos lanzamientos de monedas, el espacio muestral para ese experimento es,
S = {HH, HT, JU, TT}
El evento «E» se define como obtener dos cruces. Entonces, en el espacio muestral, solo hay un resultado donde sucede. Por lo tanto, este es un ejemplo de un evento simple.
Evento compuesto
Los eventos que tienen más de un punto de muestra se denominan eventos compuestos. Considere el ejemplo anterior y defina el evento E 2 como obtener una cara. Así, el evento constará de tres puntos del espacio muestral.
mi 2 = {HH, HT, TH}
Por lo tanto, esto se llama un evento compuesto.
Álgebra de eventos
Se pueden combinar dos o más conjuntos usando cuatro operaciones diferentes, unión, intersección, diferencia y complemento. Dado que los eventos no son más que subconjuntos del espacio muestral, lo que significa que también se establecen por sí mismos. De la misma manera, se pueden combinar dos o más eventos usando estas operaciones. Consideremos tres eventos A, B y C definidos sobre el espacio muestral S.
Evento de cortesía
Por cada evento A, existe otro evento A’, que se denomina evento complementario. Consiste en todos aquellos elementos que no pertenecen al evento A. Por ejemplo, en el experimento de lanzar una moneda. Digamos que el evento A se define como obtener una cara.
Entonces, A = {HT, TH, HH}
El complementario A’ del evento A estará formado por todos los elementos del espacio muestral que no están en el evento A. Así,
A’ = {TT}
Evento A o B
La unión de dos conjuntos A y B se denota como A ∪ B. Contiene todos los elementos que están en el conjunto A, el conjunto B o en ambos. Este evento A o B se define como,
Evento A o B = A ∪ B
= {w : w ∈ A o w ∈ B}
Eventos A y B
La intersección de dos conjuntos A y B se denota como A ∩ B. Esto contiene todos los elementos que están tanto en el conjunto A como en el conjunto B. Este evento A y B se define como,
Evento A y B = A ∩ B
= {w: w ∈ A y w ∈ B}
Evento A pero no B
La diferencia de conjunto A – B consta de todos los elementos que están en A pero no en B. Los eventos A pero no B se definen como,
A pero no B = A – B
= A ∩ B’
Usando estos conceptos se definen otros dos tipos de eventos. Mirémoslos.
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos A y B se llaman mutuamente excluyentes si ambos no pueden ocurrir simultáneamente. En este caso, los conjuntos A y B son disjuntos.
UN ∩ B = ∅
Por ejemplo, considere tirar un dado,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ahora, el evento A se define como «obtener un número par», mientras que el evento B se define como «obtener un número impar». Ahora, estos dos eventos no pueden ocurrir juntos.
A = {2, 4, 6} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto, la intersección entre estos dos conjuntos es un conjunto vacío.
Eventos exhaustivos
Los eventos A, B y C se llamarán eventos exhaustivos si,
UN ∪ segundo ∪ C = S
En un marco más general, los eventos E 1 , E 2 …….E n se denominan eventos exhaustivos si,
mi 1 ∪ mi 2 …. ∪ mi norte = S
Como ejemplo, digamos para un experimento de lanzamiento de moneda dos veces,
A = Obtener al menos una cara.
B = Obtener dos cruces.
A = {HT, TH, HH} y B = {TT}
Por lo tanto, A ∪ B = S
Enfoque axiomático de la probabilidad
Para un experimento aleatorio, deje que S defina un espacio muestral. La probabilidad P es una función de valor real cuyo dominio es el conjunto potencia de S y el rango está entre [0, 1]. Intuitivamente, mide las posibilidades de que suceda algún evento. La probabilidad de cualquier evento debe satisfacer estos axiomas:
- Para cualquier evento E, P(E) ≤ 1.
- P(S) = 1
- Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(E ∪ F) = P(E) + P(F)
El tercer axioma se puede generalizar a n número de eventos,
PAGS(mi 1 ∪ mi 2 …. ∪ mi norte ) = PAGS(mi 1 ) + PAGS(mi 2 ) + .. PAGS(mi norte )
Problemas de muestra
Pregunta 1: Considere el experimento de lanzar una moneda justa 3 veces, el Evento A se define como obtener todas las cruces. ¿Qué clase de evento es este?
Responder:
El espacio muestral para el lanzamiento de la moneda será,
S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
Para el evento A,
A = {TTT}
Este evento solo se asigna a un elemento del espacio muestral. Por lo tanto, es un evento simple.
Pregunta 2: Digamos que se lanza una moneda al aire una vez, indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa.
“Si definimos un evento X, lo que significa obtener tanto cara como cruz. Este evento será un evento simple”.
Responder:
Cuando se lanza una moneda, solo puede haber dos resultados, cara o cruz.
S = {H, T}
No es posible obtener cara y cruz, por lo que el evento X es un conjunto vacío.
Por lo tanto, es un evento imposible y seguro. Por lo tanto, esta declaración es falsa.
Pregunta 3: Se lanza un dado, a continuación se definen tres eventos A, B y C :
- A: Obtener un número mayor que 3
- B: Obtener un número que sea múltiplo de 3.
- C: obtener un número impar
Encuentre A ∩ B, A ∩ B ∩ C y A ∪ B.
Responder:
El espacio muestral para la tirada del dado será,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Para el evento A,
A = {4, 5, 6}
Para el evento B,
B = {3, 6}
Para el evento C,
C = {1, 3, 5}
UN ∩ segundo = {4, 5, 6} ∩ {3, 6}
= {6}
UN ∩ B ∩ C = {4, 5, 6} ∩ {3, 6} ∩ {1, 3, 5}
= ∅ (Conjunto Vacío)
UN ∪ segundo = {4, 5, 6} ∪ {3, 6}
= {3, 4, 5, 6}
Pregunta 4: Se lanza un dado, definamos dos eventos, el evento A obtiene el número 2 y el evento B obtiene un número par. ¿Son estos eventos mutuamente excluyentes?
Responder:
El espacio muestral para la tirada del dado será,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Para el evento A,
A = {2}
Para el evento B,
B = {2, 4, 6}
Para que dos eventos sean mutuamente excluyentes, su intersección debe ser un conjunto vacío
UN ∩ B = {2} ∩ {2, 4, 6}
= {2}
Como no es un conjunto vacío, estos eventos no son mutuamente excluyentes.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA