Eventos Dependientes e Independientes – Probabilidad

La teoría de la probabilidad es un tema importante para aquellos que estudian matemáticas en clases superiores. Por ejemplo, el pronóstico del tiempo de algunas áreas dice que hay un cincuenta por ciento de probabilidad de que llueva hoy. La probabilidad es la posibilidad de que suceda algún evento. El término «evento» en realidad significa uno o más resultados. El evento significa el resultado que puede ocurrir. Los eventos totales se definen como todos los resultados que pueden ocurrir relacionados con el experimento planteado en la pregunta. Además, los eventos de interés se conocen como eventos favorables.

Por ejemplo:

i) Obtener cruz en el lanzamiento de una moneda puede llamarse un evento.

ii) Se dice que obtener un 4 en una tirada de dado es un evento.

iii) Sacar un rey de la baraja de cartas también es un evento.

(iv) Obtener una suma de 7 en la tirada de un par de dados es un evento.

Eventos seguros e inseguros:

Un evento cuya probabilidad de ocurrir es del 100% se llama evento seguro. La probabilidad de tal evento es 1. En un evento seguro, es probable que se obtenga el resultado deseado en todo el experimento de muestra.
Por otro lado, cuando no hay posibilidades de que suceda un evento, es probable que la probabilidad de tal evento sea cero. Se dice que esto es un evento imposible.

En base a los eventos de calidad, estos se clasifican en tres tipos que son los siguientes:

• Eventos independientes
• Eventos dependientes
• Eventos mutuamente excluyentes

Para una mejor comprensión de los eventos dependientes e independientes, primero entendamos los eventos simples y compuestos.

Evento sencillo

Un evento que tiene un solo punto del espacio muestral se conoce como evento simple en probabilidad.

Por ejemplo: la probabilidad de obtener un 4 cuando se lanza un dado.

Aquí Espacio Muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si E es el evento de obtener un 4 cuando se lanza un dado. mi = {4}

P(E) = 1/6

En el caso de un evento simple, el numerador (número de resultados favorables) será 1.

Evento compuesto

Si un evento tiene más de un punto de muestra, se denomina evento compuesto. Los eventos compuestos son un poco más complejos que los eventos simples. Estos eventos implican la probabilidad de que más de un evento ocurra al mismo tiempo. La probabilidad total de todos los resultados de un evento compuesto es igual a 1.

Para calcular la probabilidad, se utiliza la siguiente ecuación:

Primero, encontramos la probabilidad de que ocurra cada evento. Luego multiplicaremos estas probabilidades juntas. En el caso de un evento compuesto, el numerador (número de resultados favorables) será mayor que 1.

Por ejemplo: la probabilidad de sacar un número impar en un dado y luego sacar cruz en una moneda

Aquí P(número impar) = 3/6 donde los resultados favorables son {1,3,5}

P(cola) = 1/2

Por lo tanto, probabilidad requerida = (3/6)×(1/2) = 1/4

Ahora pasemos a los eventos Dependientes e Independientes:

Eventos dependientes

Los eventos dependientes son aquellos eventos que se ven afectados por los resultados de eventos que ya habían ocurrido previamente. es decir, dos o más eventos que dependen uno del otro se conocen como eventos dependientes. Si un evento cambia por casualidad, es probable que otro difiera.

Por lo tanto, si la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de que ocurra el otro evento, entonces se dice que los dos eventos son dependientes.

Por ejemplo:

1. Digamos que se van a sacar tres cartas de un paquete de cartas. Entonces, la probabilidad de obtener un rey es mayor cuando se saca la primera carta, mientras que la probabilidad de obtener un rey sería menor cuando se saca la segunda carta. En el sorteo de la tercera carta, esta probabilidad dependería de los resultados de las dos cartas anteriores. Podemos decir que después de sacar una carta, habrá menos cartas disponibles en el mazo, por lo que las probabilidades tienden a cambiar.

2. Se elige una carta al azar de una baraja estándar de 52 cartas. Sin reemplazarla, se elige una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta elegida sea un rey y la segunda carta elegida sea una reina?

Probabilidades:

P(rey en la primera elección)= 4/52

P(dama en la 2.ª elección, dado rey en la 1.ª elección) = 4/51

P(rey y reina) = (4/52 × 4/51) = 16/2652 = 4/663

Involucró dos compuestos, eventos dependientes. La probabilidad de elegir una reina en la segunda elección, dado que se eligió un rey en la primera elección, se denomina probabilidad condicional.

Cuando la ocurrencia de un evento afecta la ocurrencia de otro evento posterior, los dos eventos son eventos dependientes. El concepto de eventos dependientes da lugar al concepto de probabilidad condicional.

Fórmula de probabilidad condicional

Si la probabilidad de los eventos A y B son P(A) y P(B) respectivamente, entonces la probabilidad condicional de B tal que A ya haya ocurrido es P(A/B).

Dado, P(A)>0,P(A/B) = P(A ∩ B)/P(A) o P(B ∩ A)/P(A)

P(A)<0 significa que A es un evento imposible. En P(A ∩ B) la intersección denota una probabilidad compuesta.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Un instructor tiene un banco de preguntas con 300 V/F fáciles, 200 V/F difíciles, 500 MCQ fáciles, 400 MCQ difíciles. Si se selecciona una pregunta al azar del banco de preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una pregunta fácil dado que es un MCQ?

Solución:

Dejar,

P(fácil)= (300+500)/1400 = 800/1400 = 4/7

P(MCQ)= (400+500)/1400 = 900/1400 = 9/14

P(fácil ∩ MCQ)= (500)/1400 =5/14

P(fácil/MCQ) = P(fácil ∩ MCQ)

                       = (5/14)/(9/14) =5/9

Pregunta 2: En un envío de 20 manzanas, 3 están podridas. Se seleccionan al azar 3 manzanas. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres estén podridos si el primero y el segundo no se reemplazan?

Solución:

Probabilidades: P(3 podrido) = (3/20 × 2/19 × 1/18)= 6/6840 = 1/1140    

Pregunta 3: John tiene que seleccionar dos estudiantes de una clase de 10 niñas y 15 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos estudiantes elegidos sean niños?

Solución:

Número total de estudiantes = 10 + 15 = 25

Probabilidad de elegir al primer niño, digamos P(Niño 1) = 15/25

P(Niño 2|Niño 1) = 14/24

Ahora,

P(Niño 1 y Niño 2) = P(Niño 1) y P(Niño 2|Niño 1)

                                = (15/25)×(14/24) = 7/20

eventos independientes

Los eventos independientes son aquellos eventos cuya ocurrencia no depende de ningún otro evento. Si la probabilidad de ocurrencia de un evento A no se ve afectada por la ocurrencia de otro evento B, entonces se dice que A y B son eventos independientes.

Ejemplos:

• Tirando una moneda.

Aquí, Sample Space S = {H, T} y tanto H como T son eventos independientes.

• Lanzar un dado.

 Espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, todos estos eventos también son independientes.

Los dos ejemplos anteriores son eventos simples. Incluso los eventos compuestos pueden ser eventos independientes. Por ejemplo:

• Tirar una moneda y tirar un dado.

Espacio muestral S = {(1,H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T) (5, T) (6, T)}.

Estos eventos son independientes porque solo puede ocurrir uno a la vez.

Considere un ejemplo de tirar un dado. Si A es el evento ‘el número que aparece es mayor que 3’ y B es el evento ‘el número que aparece es múltiplo de 3’, entonces

P(A)= 3/6 = 1/2 aquí los resultados favorables son {4,5,6}

P(B) = 2/6 = 1/3 aquí los resultados favorables son {3,6}

Además, A y B es el evento ‘el número que aparece es impar y múltiplo de 3’ de modo que P(A ∩ B) = 1/6

P(A│B) = P(A ∩ B)/ P(B)

           = (1/6)/(1/3) = 1/2

P(A) = P(A│B) = 1/2, lo que implica que la ocurrencia del evento B no ha afectado la probabilidad de ocurrencia del evento A.
Si A y B son eventos independientes, entonces P(A│B ) = P(A)

Usando la regla de probabilidad de la multiplicación, P(A ∩ B) = P(B). P(A│B)

P(A ∩ B) = P(B). PENSILVANIA)

Nota: A y B son dos eventos asociados con el mismo experimento aleatorio, entonces A y B se conocen como eventos independientes si P(A ∩ B) = P(B).P(A)

Nota: Podemos calcular la probabilidad de dos o más eventos independientes multiplicando

¿Qué son los eventos mutuamente excluyentes?

Se dice que dos eventos A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Los eventos mutuamente excluyentes nunca tienen un resultado en común.

Pregunta 1: Una prueba de opción múltiple consta de dos problemas. Problem1 tiene 5 opciones y Problem2 tiene 4 opciones. Cada problema tiene una sola respuesta correcta. ¿Cuál es la probabilidad de adivinar al azar la respuesta correcta a ambos problemas?

Solución: 

Aquí, la probabilidad de respuesta correcta del Problema 1 = P(A) y la probabilidad de respuesta correcta del Problema 2 = P(A) son eventos independientes. De este modo

La probabilidad de respuesta correcta del Problema 1 y del Problema 2 = P(A ∩ B) =P(A). P(B)

                                                                                                                            =(1/5)*(1/4) = 1/20

Pregunta 2: Si se lanza un dado dos veces, encuentre la probabilidad de obtener dos 3.

Solución:

P(sacar 3 en el primer tiro)=1/6

P(sacar 3 en el segundo lanzamiento)=1/6

P(dos 3)=(1/6)*(1/6) =1/36

Pregunta 3: Se lanzan dos dados justos, uno de color blanco y otro de color negro. Encuentre la probabilidad de que:

a) la puntuación en el dado negro es 3 y en el dado blanco es 5.

b) la puntuación en el dado blanco es 1 y el dado negro es impar.

Solución:

a) Probabilidad de que el dado negro muestre 3 y el blanco 5 = (1/6)*(1/6) = 1/36

b) Probabilidad de que el dado blanco muestre 1 y el dado negro muestre un número impar = (1/6)*(3/6) =1/12