Expansiones decimales de números racionales

Los números reales son simplemente la combinación de números racionales e irracionales, en el sistema numérico. En general, todas las operaciones aritméticas se pueden realizar sobre estos números y también se pueden representar en la recta numérica. Entonces, en este artículo, analicemos algunos números racionales e irracionales y su prueba. 

Numeros racionales

Un número de la forma p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0 se llaman números racionales.

Ejemplos:

1) Todos los números naturales son racionales,

   1, 2, 3, 4, 5…….. todos son números racionales.

2) Los números enteros son racionales.

    0,1, 2, 3, 4, 5, 6,,,,,, todos son racionales.

3) Todos los números enteros son números racionales.

   -4.-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,,,,,,,, todos son números racionales.

Numeros irracionales

Los números que cuando se expresan en forma decimal son expresables como decimales no terminales y no periódicos se conocen como números irracionales. 

Ejemplos:

1) Si m es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces √m es irracional.

   √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10,….. etc., todos son irracionales.

2) Si m es un entero positivo que no es un cubo perfecto, entonces ³ √m es irracional. 

    ³ √2,   ³ √3,   ³ √4,….. etc., todos son irracionales. 

3) Todos los decimales que no se repiten ni terminan son números irracionales.

    0.1010010001…… es un decimal no terminador y no periódico. Entonces es un número irracional.

    0.232232223…….. es irracional.

    0.13113111311113…… es irracional.

Naturaleza de las expansiones decimales de los números racionales

• Teorema 1: Sea x un número racional cuya forma más simple es p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Entonces, x es un decimal terminador solo cuando q tiene la forma (2 ^m x 5 ⁿ ) para algunos enteros no negativos m y n.
• Teorema 2: Sea x un número racional cuya forma más simple es p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Entonces, x es un decimal periódico no terminador, si q ≠ (2 ^m x 5 ⁿ ).
• Teorema 2: Sea x un número racional cuya forma más simple es p/q, donde p y q son números enteros y q = 2 ^m x 5 ⁿ entonces x tiene una expansión decimal que termina.

Prueba 1: √2 es irracional

Sea √2 un número racional y su forma más simple sea p/q.

Entonces, p y q son números enteros que no tienen otro factor común que 1, y q ≠ 0.

Ahora √2 = p/q 

⇒ 2 = p ² /q ²     (al elevar al cuadrado ambos lados)

⇒ 2q ² = p ²    ……..(i)

⇒ 2 divide p ²    (2 divide 2q ² ) 

⇒ 2 divide a p (2 es primo y divide a p ² ⇒ 2 divide a p)

Sea p = 2r para algún entero r.

poniendo p = 2r en la ecuación (i)

2q ² = 4r ² 

⇒ ^q2 = ^2r2

⇒ 2 divide q ²   (2 divide 2r ² )

⇒ 2 divide a p (2 es primo y divide a q ² ⇒ 2 divide a q)

Por lo tanto, 2 es factor común de p y q. Pero esto contradice el hecho de que a y b tienen un factor común distinto de 1. La contradicción surge al suponer que √2 es racional. Entonces, √2 es irracional.

 Prueba 2: las raíces cuadradas de los números primos son irracionales 

Sea p un número primo y, si es posible, sea √p un número racional. 

Sea su forma más simple √p=m/n, donde m y n son números enteros que no tienen otro factor común que 1, y       

n≠0. 

Entonces, √p = m/n

⇒ p = m ² /n ²          [al elevar al cuadrado ambos lados] 

⇒ pn ² = m ² ……..(i)

⇒ p divide m ²  (p divide pn ² )

⇒ p divide a m (p es primo y p divide a m ² ⇒ p divide a m)

Sea m = pq para algún entero q.

Poniendo m = pq en la ecuación (i), obtenemos:

pn ² = p ² q ² 

⇒ n ² = pq ²

⇒ p divide a n ² [ p divide a pq ² ] 

⇒ p divide a n [p es primo y p divide a n ² = p divide a n]. 

Por lo tanto, p es un factor común de m y n. Pero esto contradice el hecho de que m y n no tienen otro factor común que 1. La contradicción surge al suponer que /p es racional. Por lo tanto, p es irracional.

Prueba 3: 2 + √3 es irracional.

Si es posible, sea (2 + √3) racional. Entonces, (2 + √3) es racional, 2 es racional 

⇒ {( 2 + √3) – 2} es racional [la diferencia de racionales es racional]

⇒ √3 es racional. Esto contradice el hecho de que √3 es irracional. 

La contradicción surge al suponer que (2 + √3) es irracional.

Por lo tanto, (2 + √3) es irracional.

Prueba 4: √2 + √3 es irracional.

Supongamos que (√2 + √3 ) es racional. 

Sea (√2 + √3) = a, donde a es racional. 

Entonces, √2 = (a – √3 ) ………….(i)

Al elevar al cuadrado ambos lados de (i), obtenemos: 

2 = un ² + 3 – 2a√3 ⇒ 2a√3 = un ² + 1 

Por lo tanto, √3 = (a² +1)/2a  

Esto es imposible, ya que el lado derecho es racional, mientras que √3 es irracional. Esto es una contradicción. 

Dado que la contradicción surge al suponer que (√2 + √3) es racional, entonces (√2 ​​+ √3) es irracional.

Identificación de decimales de terminación 

Para verificar si un número racional dado es un decimal terminador o periódico Sea x un número racional cuya forma más simple es p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Entonces, 

(i) x es un decimal terminador solo cuando q tiene la forma (2 ^m x 5 ⁿ ) para algunos enteros no negativos m y n. 

(ii) x es un decimal periódico no terminador si q ≠ (2 ^m x 5 ⁿ ).

Ejemplos

(yo) 33/50

Ahora, 50 = (2×5 ² ) y 2 y 5 no es un factor de 33. 

Entonces, 33/50 está en su forma más simple. 

Además, 50 = (2×5 ² ) = (2 ^m × 5 ⁿ ) donde m = 1 y n = 2.

53/343 es un decimal terminador.

33/50 = 0,66.

(ii) 41/1000

Ahora, 1000 = (2 ³ x5 ³ ) = y 2 y 5 no es un factor de 41.

Entonces, 41/1000 está en su forma más simple.

Además, 1000 = (2 ³ x2 ³ ) = (2 ^m × 5 ⁿ ) donde m = 3 y n = 3.

4/1000 es un decimal finito.

41/1000 = 0,041

(iii) 53/343

Ahora, 343 = 7 ³ y 7 no es un factor de 53.

Entonces, 53/343 está en su forma más simple.

Además, 343 =7 ³ ≠ (2 ^m × 5 ⁿ ) .

53 /343 es un decimal periódico no terminador.