Factorización – Part 2

El factor es un número o expresión algebraica que divide otro número o expresión de manera uniforme, es decir, su resto es 0. (o) los factores son números pequeños que cuando se multiplican dan otros números. 

Por ejemplo 1, 2, 4, 7, 14, 28 son factores del número 28.

• Forma de factores primos: Si escribimos un número en forma de producto de factores primos. Entonces se llama forma de factores primos.

Ejemplo: 70 = 2 * 5 * 7; (aquí 2, 5, 7 son factores de 70; especialmente estos también se llaman factores primos ya que estos (2, 5, 7 son números primos)

• Factores de expresión algebraica: Del mismo modo, podemos expresar expresiones algebraicas como el producto de sus factores. Si una expresión algebraica no se puede reducir más, entonces es su factor.

Ejemplo: 8xy = 8 * x * y (aquí 8xy se forma por multiplicación de números (8, x, y) son factores de ese número)

Factorización

La factorización no es más que escribir un número como el producto de números más pequeños. Es la descomposición de un número (u) objetos matemáticos en números/objetos más pequeños o más simples. El proceso incluye en la factorización son:

1. Método de Factores Comunes

• Paso 1: primero, divide cada término de la expresión algebraica en factores irreducibles
• Paso 2: luego encuentra los términos comunes entre ellos.
• Paso 3: ahora el producto de términos comunes y los términos restantes dan la forma factorial requerida.

Ejemplo: Factorizar 3x + 18?

Solución:

Paso 1: Primero dividiendo cada término en factores irreducibles.

3x = 3 * x;

18 = 2 * 3 * 3;

Paso 2: Siguiente paso para encontrar el término común 

3 es el único término común 

Paso 3: ahora el producto de los términos comunes y los términos restantes es 3(x + 6)

Entonces 3(x + 6) es la forma requerida.

2. Factorización por reagrupación

A veces, los términos de la expresión dada deben organizarse en grupos adecuados de esa manera. Para que todos los grupos tengan un factor común.

Ejemplo 1: factorizar x ² + yz + xy + xz?

Solución:

Aquí no tenemos un término común para todos. Entonces estamos tomando (x ² + xy) como un grupo y (yz + xz) como otro grupo.

Forma factorial de (x ² + xy) = (x * x) + (x * y)

                                      = x(x + y)

Forma factorial de (yz + xz) = (y * z) + (x * z)

                                      = z(x + y)

Después de combinarlos,

 x2 + yz + xy + xz = x(x + y) + z(x + y ⁾

Tomando (x + y) como común obtenemos,

x ² + yz + xy + xz = (x + y) (x + z)

Ejemplo 2: factorizar 2xy + 3 + 2y + 3x?

Solución:

2xy + 2y + 3x + 3 [aquí estamos reordenando términos para comprobar si obtenemos términos comunes o no]

2y (x + 1) + 3 (x + 1)

(2y + 3) (x + 1)

3. Factorización usando Identidades

Hay muchas identidades estándar. Algunos de ellos se dan a continuación:

i. (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

ii. (a – b) ² = a ² – 2ab + b ²

iii. a ² – b ² = (a + b) (a – b)

Ejemplo 1: factorizar x ² + 8x + 16?

Solución:

Esto tiene la forma de (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

x2 ⁺ 8x + 16 = x2 + ² * x * 4 + 4 ²

                    = (x + 4) ²

                           =(x + 4) (x + 4)

Ejemplo 2: factorizar un ² – 20a + 100?

Solución:

Esto en forma de (a – b) ² = a ² – 2ab + b ²

un ² – 20a + 100 = un ² – 2 * un * 10 + 10 ²

                        = (a – 10) ²

                        = (a – 10) (a – 10)

Ejemplo 3: factorizar 25x ² – 49?

Solución:

Esto en forma de a ² – b ² = (a + b) (a – b)

25x ² – 49 = (5x) ² – 7 ²

               = (5x + 7) (5x – 7)

4. Factores de la forma (x + a)(x + b)

En este método necesitamos factorizar la expresión dada tal que (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab.

Ejemplo: Factorizar m ² + 10m + 21?

Solución:

Esto tiene la forma de (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab

Donde x = m; (a + b) = 10; ab = 21;

Al resolver obtenemos a = 3; b = 7;

Al sustituir obtenemos 

m2 ⁺ 10m + 21 = m2 ⁺ (3 + 7)m + 3 * 7

                         = (m + 3)(m + 7)

División de expresiones algebraicas

1. División de monomio por un monomio

Ejemplo 1: ¿Dividir 35abc por 5ab?

Solución:

Convierte cada término en forma irreducible

35abc = 5 * 7 * a * b * c

5ab = 5 * a * b

división normal,

35abc / 5ab = 5 * 7 * a * b * c / 5 * a * b

                    = 7c

Ejemplo 2: Divide 14x ⁵ por 2x ³ ?

Solución:

14x ⁵ = 2 * 7 * x * x * x * x * x 

2x ³ = 2 * x * x * x

14x ⁵ / 2x ³ = 2 * 7 * x * x * x * x * x / 2 * x * x * x

                = ^7×2

2. División de polinomio por un monomio

Ejemplo: ¿Dividir 8x ⁴ – 16x ³ + 12x ²  + 4x por 4x?

Solución:   

8x ⁴ – 16x ³ + 12x ²  + 4x / 4x  

=> 4x(2x ³ – 4x ² – 3x – 1) / 4x (Tomando 4x como común y dividiéndolo con denominador)

=> 2x ³ – 4x ² – 3x – 1  

3. División de polinomio por un polinomio

Ejemplo: ¿Dividir 16a ² + 8 entre 4a + 2?

Solución: 

16a ² + 8 / 4a + 2

=> 4a(4a + 2) / (4a + 2) (aquí tomamos 4a común)

=> 4a