Forma estándar de una línea recta

Hay varias formas disponibles para representar la ecuación de una línea recta en el plano de coordenadas bidimensional, de varias formas, tres formas principales son la forma punto-pendiente, la forma pendiente-intersección y la forma general o estándar. La forma general o estándar es una ecuación lineal donde el grado de la ecuación es uno.

Ecuación de forma estándar

La ecuación de forma estándar es

Hacha + Por + C = 0

Hacha + Por = C

Aquí, A, B y C son la constante real y el valor de A y B no es cero simultáneamente. Entonces, podemos decir que una ecuación de Ax + By + C = 0 donde A y B no son cero simultáneamente se conoce como la ecuación general de la ecuación estándar de una línea. La gráfica de una ecuación estándar siempre es recta.

Si el valor de A = 0, entonces la ecuación de la línea es y = -C/B y la línea es horizontal, significa paralela al eje x y si el valor de B = 0, entonces la ecuación de la línea es x = -C/A y la línea es vertical, significa paralela al eje y.

Por ejemplo:

2x + 4y + 3 = 0

4x – 6y = -34

Ambas ecuaciones están en la forma estándar.

3x = -3y – 2

3y = 2(x + 1)

Ambas ecuaciones dadas no están en la forma estándar

Tipos de formulario estándar

La forma estándar de la ecuación se puede representar en tres formas diferentes:

Forma pendiente-intersección: Como sabemos, la ecuación de la forma pendiente-intersección es y = mx + c. Ahora vemos cómo representar la ecuación general, es decir, Ax + By + C = 0 en la forma Pendiente-intersección.

Entonces, si el valor de B ≠ 0, entonces la ecuación general, es decir, Ax + By + C = 0 se puede escribir como:

$y = -\frac{A}{B}-\frac{C}{B}$ -(1)

Ahora, compare la ecuación (1) con la forma de intersección de la pendiente, es decir, y = mx + c, obtenemos

m = -A/B, yc = -C/B

Por lo tanto, la pendiente de Ax + By + C = 0 es -A/B y la intersección con el eje y es -C/B.

Ejemplos:

Pregunta 1. Encuentra la pendiente y la intersección con el eje y de la ecuación dada, 2x + 5y + 1 = 0.

Solución:

Dado: ecuación de línea = 2x + 5y + 1 = 0

Hallar: pendiente e intersección con el eje y

Entonces la ecuación dada se puede escribir como

y = (-1 – 2x)/5

y = -2x/5 – 1/5 -(1)

Como sabemos que la forma pendiente-intersección es

y = mx + c -(2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) obtenemos

m = -2/5 y c = -1/5

Por lo tanto, la pendiente es -2/5 y el intercepto en y es -1/5

Pregunta 2. Encuentra la pendiente y la intersección con el eje y de la ecuación dada, 3x + 6y – 9 = 0.

Solución:

Dado: ecuación de línea = 3x + 6y – 9 = 0

Hallar: pendiente e intersección con el eje y

Entonces la ecuación dada se puede escribir como

y = (9 – 6x)/3

y = -2x + 3 -(1)

Como sabemos que la forma pendiente-intersección es

y = mx + c -(2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) obtenemos

m = -2 y c = 3

Por lo tanto, la pendiente es -2 y el intercepto en y es 3

Forma de intersección: Como sabemos que la forma de intersección de la ecuación es $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ . Ahora vemos cómo representar la ecuación general, es decir, Ax + By + C = 0 en forma de intersección.

Entonces, si el valor de C ≠ 0, entonces la ecuación general, es decir, Ax + By + C = 0 se puede representar como:

$\frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}} = 1$ -(1)

Ahora, compare la ecuación (1) con la forma de intersección, es decir $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ , obtenemos

a = -C/A y b = -C/B

Entonces, la intersección x es -C/A y la intersección y es -C/B. Y si el valor de C = 0, entonces la ecuación general es Ax + By = 0, significa que la línea pasa por el origen, por lo que tiene una intersección cero.

Ejemplos:

Pregunta 1. Encuentra la intersección x e y de la ecuación dada, 4x + 8y + 2 = 0.

Solución:

Dado: 4x + 8y + 2 = 0.

Hallar: intersección x e y

Entonces la ecuación dada se puede escribir como

$\frac{x}{\frac{-2}{4}}+\frac{y}{\frac{-2}{8}}=1$ -(1)

Como sabemos que la forma de intercepción es

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ -(2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) obtenemos

a = -2/4 = -1/2

b = -2/8 = -1/4

Entonces la intersección x es -1/2 y la intersección y es -1/4

Pregunta 2. Encuentra la intersección x e y de la ecuación dada, 12x – 4y – 2 = 0.

Solución:

Dado: 12x – 4y – 2 = 0

Hallar: intersección x e y

Entonces la ecuación dada se puede escribir como

$\frac{x}{\frac{2}{12}}+\frac{y}{\frac{2}{-4}}=1$ -(1)

Como sabemos que la forma de intercepción es

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ -(2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) obtenemos

a = 2/12 = 1/6

b = -2/4 = -1/2

Entonces la intersección x es 1/6 y la intersección y es -1/2

Forma Normal: Como sabemos que la forma de intersección de la ecuación es xcosω + ysinω = p. Ahora vemos cómo representar la ecuación general, es decir, Ax + By + C = 0 en la forma normal.

Entonces consideremos que la forma normal es xcosω + ysinω = p de la recta representada por la ecuación Ax + By + C = 0.

Asi que, $\frac{A}{cos\omega} = \frac{B}{sin\omega} = \frac{C}{p}$

cosω = -Ap/C y senω = -Bp/C

Como sabemos que

sen ² ω + cos ² ω = 1 -(1)

Así que pon todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

(-Ap/C) ² + (-Bp/C) ² = 1

$p^2 = \frac{C^2}{A^2 +B^2}$

$p = \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Asi que, $cos\omega = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \ and \ sin\omega =\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Entonces, la forma normal de la ecuación general es xcosω + ysinω = p.

Ejemplos:

Pregunta 1. Convierta la ecuación dada en la forma normal 2x – 2y – 6 = 0.

Solución:

Dado: 2x – 2y – 6 = 0

Dividir la ecuación dada

√(2) ² + (-2) ² = √4 + 4 = √8 = 2√2

Entonces, 2x/2√2 – 2y/2√2 = 6/2√2

x/√2 – y/√2 = 3/√2 (1)

Como sabemos que la forma de intercepción es

xcosω + ysenω = p -(2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) obtenemos

cosω = 1/√2

senω = -1/√2

Entonces, xcos45° + ysen225° = 3/√2

Pregunta 2. Encuentra el valor de p y ω, la ecuación es x + y + 3 = 0.

Solución:

Dado: x + y + 3 = 0

Dividir la ecuación dada

√(1) ² + (1) ² = √2

Entonces, x/√2 + y/√2 = -3/√2 (1)

Como sabemos que la forma de intercepción es

xcosω + ysenω = p -(2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) obtenemos

cosω = 1/√2

senω = 1/√2

xcos45° + ysen45° = -3/√2

Por lo tanto, p = -3/√2 y ω = 45°

Graficar una ecuación lineal: 5x + 2y = 20

Para crear un gráfico de la ecuación lineal 5x + 2y = 20. Necesitamos encontrar las coordenadas del eje x y el eje y.

Paso 1: Entonces, resolvemos para y:

5x + 2y = 20 -(1)

Resta -5x en ambos lados

5x – 5x + 2y = 20 – 5x

2y = 20 – 5x -(2)

Ahora dividiendo la ecuación (2) por 2, obtenemos

2/2y = (20 – 5x)/2

y = 10 – 5x/2 -(3)

Ahora, arreglamos la ecuación (3) a la forma de intersección de la pendiente, es decir, y = mx + b

y = -5x/2 + 10

Ahora, la pendiente de la ecuación (m) es -5/2 y el intercepto en y (b) es 10.

Paso 2 : Ahora creamos una tabla para encontrar los puntos:

X	y = 10 – 5x/2	Puntos
0	y = 10-5(0)/2	(0, 10)
2	y = 10 – 5(2)/2	(2, 5)
4	y = 10 – 5(4)/2	(4, 0)

Paso 3: Después de encontrar los puntos, dibuje el eje x y el eje y en el gráfico y trace todas estas coordenadas en el gráfico.

Paso 4: Ahora dibuja una línea recta uniendo los puntos, aquí esta línea recta representa la ecuación lineal dada.

¿Cómo convertir la pendiente-intersección a la forma estándar?

Discutamos cómo convertir la pendiente-intersección a la forma estándar con la ayuda de un ejemplo.

Tenemos una ecuación y = 3/5x + 2/9. Ahora convertimos la ecuación dada a la forma estándar. Aquí, la ecuación dada está escrita en forma de pendiente-intersección, es decir, y = mx + c, y tenemos que convertir la ecuación dada en forma estándar que es Ax + By + C = 0.

Entonces, la ecuación dada se multiplica por 45 en ambos lados, porque 45 es divisible por 5 y 9

45y = 45(3x/5) + 45(2/9)

45y = 9(3x) + 5(2)

45y = 21x + 10

o 21x – 45y + 10 = 0

Entonces, la forma estándar de la ecuación y = 3/5x + 2/9 es 21x – 45y + 10 = 0.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por pkalyan264 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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