Forma punto-pendiente – Líneas rectas | Clase 11 Matemáticas

Hay varias formas de representar la ecuación de una línea recta en el plano de coordenadas bidimensional. Los tres principales son la forma punto-pendiente, la forma pendiente-intersección y la forma general o estándar. La forma punto-pendiente incluye la pendiente de la línea recta y un punto en la línea como sugiere el nombre. Puede haber infinitas rectas con una pendiente dada, pero cuando especificamos que la recta pasa por un punto dado entonces obtenemos una recta única. Por lo tanto, solo se requiere un punto en la línea y su pendiente para representar una línea recta en la forma punto-pendiente.

Ecuación punto-pendiente

Considere cualquier línea recta en el plano de coordenadas bidimensional. Sea su pendiente m y (x ₁ , y ₁ ) un punto fijo sobre la línea. Puede haber infinitas rectas con pendiente m pero cuando especificamos que la recta pasa por el punto fijo (x ₁ , y ₁ ) entonces obtenemos una única recta. Sea (x, y) cualquier punto arbitrario de la recta. Sabemos que la pendiente de la recta es m , es decir, la pendiente entre dos puntos cualesquiera de la recta siempre será m. Usando este hecho podemos derivar la ecuación de cualquier línea recta con una pendiente dada y que pasa por un punto fijo. 

Sabemos,

(cambio en y) / (cambio en x) = pendiente,

Como (x, y) y (x ₁ , y ₁ ) son dos puntos en la recta y m es la pendiente de la recta, la pendiente entre (x, y) y (x ₁ , y ₁ ) será igual a m .

Ahora, pendiente entre (x, y) y (x ₁ , y ₁ ) = (y – y ₁ ) / (x – x ₁ )

∴ (y − y ₁ ) / (x − x ₁ ) = metro …(1)

Multiplicando ambos lados de la ecuación (1) por (x − x ₁ ) obtenemos,

⟹ (y − y ₁ ) = metro (x − x ₁ )               …(2)

que es la ecuación para la línea recta considerada o la forma punto-pendiente .

La razón por la que esta ecuación se llama forma punto-pendiente es muy obvia. La ecuación solo contiene la pendiente y el punto fijo en la línea recta como constantes, por lo que se llama forma punto-pendiente.

Ejemplos de problemas sobre la ecuación punto-pendiente

Problema 1: Encuentra la ecuación de la recta con pendiente 3 y  
que pasa por (-1, 5).

Solución: 

Aquí la pendiente de la recta es 3 o m = 3 y la recta pasa por (-1, 5),

por lo tanto, un punto fijo en la línea es

(-1, 5) o (x ₁ , y ₁ ) = (-1, 5)

Sea (x, y) cualquier punto de la recta

∴ Pendiente entre (x, y) y (x ₁ , y ₁ ) = (y – y ₁ ) / (x – x ₁ )

Como (x ₁ , y ₁ ) y (x, y) son dos puntos en la línea,

la pendiente entre ellos será la pendiente de la recta (m)

∴ (y – y ₁ ) / (x – x ₁ ) = metro

Multiplicando ambos lados por (x – x ₁ ) obtenemos,

⇒ y – y ₁ = m(x – x ₁ )

Poniendo m = 3 y (x ₁ , y ₁ ) = (-1, 5) obtenemos,

⇒ y – 5 = 3(x – (-1))

⇒ y – 5 = 3(x + 1)

⇒ y – 5 = 3x + 3

⇒ y – 3x – 5 – 3 = 0

⇒ y – 3x – 8 = 0, que es la ecuación requerida 

Problema 2: Encuentra la ecuación de la recta con pendiente -2 y que pasa por (7, -4).

Solución: 

Aquí la pendiente de la línea es -2 o m = -2 y la línea pasa por (7, -4), por lo tanto, un punto fijo en el

la línea es (7, -4) o (x ₁ , y ₁ ) = (7, -4)

Sea (x, y) cualquier punto de la recta

Como (x ₁ , y ₁ ) y (x, y) son dos puntos en la recta, la

pendiente entre ellos será la pendiente de la recta

∴ (y – y ₁ ) / (x – x ₁ ) = metro

Poniendo m = 3 y (x ₁ , y ₁ ) = (7, -4) obtenemos,

⇒ (y – (-4)) / (x – 7) = -2

Multiplicando ambos lados por (x – 7) obtenemos,

⇒ y + 4 = (-2)(x – 7)

⇒ y + 4 = -2x + 14

⇒ y + 2x + 4 – 14 = 0

⇒ y + 2x – 10 = 0, que es la ecuación requerida 

Problema 3: Encuentra la ecuación de la recta con pendiente 1/4 y que pasa por (2, 3).

Solución: 

Aquí la pendiente de la recta es 1/4 o m = 1/4 y la recta pasa por (2, 3), 

por lo tanto, un punto fijo en la recta es (2, 3) o (x ₁ , y ₁ ) = (2, 3)

Sabemos que la forma punto-pendiente es: (y – y ₁ ) = m(x – x ₁ )

Poniendo los valores de m, x ₁ e y ₁ en la ecuación obtenemos,

⇒ (y – 3) = (1/4)(x – 2)

Multiplicando ambos lados por 4 obtenemos,

⇒ 4(y – 3) = 1(x – 2)

⇒ 4y – 12 = x – 2

⇒ 4y – x – 12 + 2 = 0

⇒ 4y – x – 10 = 0, que es la ecuación requerida

Ecuación pendiente-intersección

La forma pendiente-intersección se puede tratar como un caso especial de la forma punto-pendiente donde el punto fijo en la línea recta se encuentra en el eje X o en el eje Y. Cuando una recta pasa por cualquiera de los ejes, corta al eje en un punto fijo a cierta distancia del origen. Esta distancia se llama la intersección de la línea. Entonces, si se da la intersección, podemos determinar fácilmente el punto de corte y usarlo como punto fijo en forma de punto-pendiente. Si se dice que la línea corta el eje Y en una distancia de c ₁ desde el origen, entonces es claro que el punto de corte está en el eje Y y su coordenada es (0, c ₁ ) , que será el punto fijo punto de la forma punto-pendiente. Del mismo modo, si la línea corta eleje X a una distancia c ₂ del origen, el punto de corte está en el eje X y su coordenada será (c ₂ , 0). Consulte la imagen a continuación para obtener más aclaraciones.

Dependiendo de qué eje se dice que la línea corta una intersección, los dos casos son los siguientes:

Caso 1: si se da el intercepto en y

Considere una línea recta con pendiente m que se dice que corta el eje Y en una distancia de c ₁ desde el origen. Como se mencionó anteriormente, la línea corta el eje Y en un punto de corte fijo que es (0, c ₁ ) . Poniendo pendiente = m , x ₁ = 0 y y ₁ = c ₁ en la forma punto-pendiente obtenemos,

(y – y ₁ ) = metro (x – x ₁ )

Poniendo los valores que obtenemos,

⇒ y – c ₁ = m (x – 0)

⇒ y – c ₁ = mx

⇒ y = mx + c ₁  …(3),              

que es la ecuación de la recta considerada o la forma pendiente-intersección .

Problema 1: Encuentra la ecuación de la línea recta con pendiente -1 y intersección en y 3.

Solución: 

Aquí la pendiente de la línea es -1 o m = -1 y

el intercepto en y es 3, por lo tanto, la línea corta el eje Y en el

punto fijo (0, 3) o (x ₁ , y ₁ ) = (0, 3)

Poniendo los valores de m, x ₁ e y ₁ en el punto-pendiente

forma que obtenemos,

Forma punto-pendiente: (y – y ₁ ) = m(x – x ₁ )

⇒ y – 3 = (-1)(x – 0)

⇒ y – 3 = (-1)x

⇒ y – 3 = -x

⇒ y + x – 3 = 0, que es la ecuación requerida

Problema 2: Encuentra la ecuación de la línea recta con pendiente 4 e intersección en y -5

Solución: 

Aquí la pendiente de la línea es 4 o m = 4 y

el intercepto en y es -5 o c ₁ = -5

Poner los valores de m y c ₁ en la pendiente-intersección

forma que obtenemos,

Forma pendiente-intersección: y = mx + c ₁

⇒ y = 4x + (-5)

⇒ y = 4x – 5

⇒ y – 4x + 5 = 0, que es la ecuación requerida

Caso 2: si se da la intersección x

Considere una línea recta con pendiente m que se dice que corta el eje X en una distancia de c ₂ desde el origen. Como se discutió anteriormente, la línea corta el eje X en un punto de corte fijo que es (c ₂ , 0) . Poniendo pendiente = m, x ₁ = c ₂ y y ₁ = 0 en la forma punto-pendiente obtenemos,

(y – y ₁ ) = metro (x – x ₁ )

Poniendo los valores que obtenemos,

⇒ y – 0 = metro (x – c ₂ )

⇒ y = m (x – c ₂ ) …(4),

que es la ecuación de la recta considerada o la forma pendiente-intersección .

Problema 1: Encuentra la ecuación de la recta con pendiente 2 y x-intersección 1

Solución: 

Aquí la pendiente de la línea es 2 o m = 2 y

x-intercept es 1, por lo tanto, la línea corta el eje X en el

punto fijo (1, 0) o (x ₁ , y ₁ ) = (1, 0)

Poniendo los valores de m, x ₁ e y ₁ en el punto-pendiente

forma que obtenemos,

Forma punto-pendiente: (y – y ₁ ) = m(x – x ₁ )

⇒ y – 0 = 2(x – 1)

⇒ y = 2(x – 1)

⇒ y = 2x – 2

⇒ y – 2x + 2 = 0, que es la ecuación requerida

Problema 2: Encuentra la ecuación de la recta con pendiente -3 y x-intersección -7

Solución: 

Aquí la pendiente de la línea es -3 o m = -3 y

x-intersección es -7 o c ₂ = -7

Poniendo los valores de m y c ₂ en la pendiente-intersección

forma que obtenemos,

Forma pendiente-intersección: y = m(x – c ₂ )

⇒ y = (-3)(x – (-7))

⇒ y = (-3)(x + 7)

⇒ y = -3x – 21

⇒ y + 3x + 21 = 0, que es la ecuación requerida

Resumen

1. La ecuación de una recta con pendiente m y que pasa por un punto fijo (x ₁ , y ₁ ) es decir, la forma punto-pendiente es: (y – y ₁ ) = m (x – x ₁ )
2. La ecuación de una línea recta con pendiente m e intersección en y c ₁ , es decir, la forma pendiente-intersección es: y = mx + c ₁
3. La ecuación de una línea recta con pendiente m y x-intersección c ₂ ie la forma pendiente-intersección es: y = m (x – c ₂ )