Formas polar y exponencial de números complejos

Antes de discutir las diferentes formas de los números complejos y la conversión entre ellos, debemos saber acerca de los números complejos. Los números complejos son una parte de las matemáticas representadas como una combinación de una parte real y una parte imaginaria. Un número complejo contiene tanto la parte real como la parte imaginaria donde la parte real es el número constante y la parte imaginaria contiene la variable «i» con un coeficiente constante. Sea a+ib un número complejo, entonces a se llama parte real y b se llama coeficiente imaginario.

Hay tres formas de números complejos. Están, 

1. forma general
2. Forma polar
3. forma exponencial

Forma general de un número complejo

La forma general del número complejo se representa como z = a + ib donde a se llama parte real y b se llama parte imaginaria del número complejo. También se puede representar en la forma esquemática a continuación.

Representación en forma polar de números complejos

La forma polar del número complejo se representa como z = r(cos∅ + i sin∅) donde rcos∅ se denomina parte real y rsin∅ se denomina parte imaginaria del número complejo. También se puede representar en la forma cartesiana a continuación.

En el diagrama anterior a = rcos∅ y b = rsin∅. En forma general, a + ib donde a = parte real yb = parte imaginaria, pero en forma polar hay un ángulo incluido en el cartesiano donde a=rcos∅ y b=rsin∅ . Aquí r es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b y también ∅ también puede tener una fórmula que es tan ^-1 (parte imaginaria/parte real). Por lo tanto , r puede representarse como una raíz cuadrada (a ² + b ² ). Por lo tanto , ∅ se puede representar como tan ^-1 (b/a) donde b es la parte imaginaria y a es la parte real.

Representación en forma exponencial de números complejos

La forma exponencial del número complejo se representa como z = r exp(i∅) donde exp(i∅) también se representa como cos∅ + i sin∅. A partir de esto, puedo decir que la forma exponencial, la forma polar y la forma general están estrechamente relacionadas.

Z = r(cos∅ + i sen∅)

Z = re ^{yo ∅}

Z = ángulo r(∅) [Esta es una representación fasorial de forma exponencial]

Diferente representación de números complejos

1. En forma general Z = a + ib
2. En forma polar Z = r(cos∅ + i sin∅)
3. En forma exponencial Z = re ^{i ∅}

Conversión de números complejos

Los números complejos se pueden convertir a la forma polar conveniente, a la forma exponencial o a la forma general. Cómo se convirtió esto se muestra a continuación.

Conversión de forma general a forma polar

1. Antes de convertir la forma general a la forma polar, compruebe si la forma general tiene la forma a+ib y los valores de a y b ya se conocen en la forma general.
2. La forma polar se parece a Z = r(cos∅ + i sin∅).
3. Para convertir a la estructura de forma polar anterior, necesitamos saber cómo los valores ayb en forma general se relacionan con r, ∅.
4. Las fórmulas de r,∅ son r = √(a ² + b ² ), ∅ = tan ^-1 (b/a).
5. Las fórmulas anteriores en términos de a y b se derivan para convertir de forma general a forma polar, de modo que podamos sustituir r, ∅ en forma polar Z = r(cos∅ + i sin∅). 

Conversión de forma general a forma exponencial

1. Antes de convertir la forma general a una forma exponencial, verifique si la forma general tiene la forma de Z = a + ib y si los valores de a y b ya se conocen en forma general.
2. La forma exponencial parece Z = re ^{i ∅} .
3. Para convertir a la estructura de forma exponencial anterior, necesitamos saber cómo los valores ayb en forma general se relacionan con r, ∅.
4. Las fórmulas de r, ∅ son r = √(a ² + b ² ), ∅ = tan ^-1 (b/a).
5. Las fórmulas anteriores en términos de a y b se derivan para convertir de forma general a forma polar para que podamos sustituir r, ∅ en forma polar Z = re ^{i ∅} . 

Conversión de forma polar a forma general

1. Antes de convertir la forma polar a la forma general, compruebe si la forma polar tiene la forma de Z = r(cos∅ + i sin∅) y los valores de r, ∅ que ya se conoce en forma polar.
2. La forma general se parece a Z = a + ib.
3. Para convertir a la estructura de forma general anterior, necesitamos saber cómo los valores de r,∅ en forma general se relacionan con a, b.
4. Las fórmulas de a,b son a = rcos∅, b = rsin∅ donde r,∅ ya se conoce en forma polar.
5. Las fórmulas anteriores en términos de r,∅ se derivan para convertir de forma polar a forma general para que podamos sustituir a, b en forma general Z = a + ib. 

Convertir forma polar a forma exponencial

1. Antes de convertir la forma polar a la forma exponencial, compruebe si la forma polar tiene la forma de Z = r(cos∅ + i sin∅) y los valores de r, ∅ que ya se conoce en forma polar.
2. La forma exponencial se parece a Z = re ^i∅ .
3. Para convertir a la estructura de forma exponencial anterior, necesitamos conocer los valores de r,∅ solo porque la forma exponencial también requiere valores de r,∅.
4. Sustituya el valor de r,∅ por Z = re ^i∅ para convertir de forma polar a forma exponencial.

Convertir forma exponencial a forma general

1. Antes de convertir la forma exponencial a la forma general, verifique si la forma exponencial tiene la forma de Z = re ^i∅ y si los valores de r,∅ ya se conocen en forma exponencial.
2. La forma general se parece a Z = a + ib.
3. Para convertir a la estructura de forma general anterior, necesitamos saber cómo los valores de r,∅ en forma general se relacionan con a,b.
4. Fórmulas para a,b derivadas de Z = re ^i∅ = r(cos∅ + isin∅) donde a = rcos∅, b = rsin∅. Como e ^i∅ = cos∅ + isin∅ ya lo sabemos en trigonometría.
5. Las fórmulas anteriores en términos de r,∅ se derivan para convertir de forma exponencial a forma general para que podamos sustituir a, b en la forma general Z = a + ib. 

Convertir forma exponencial a forma polar

1. Antes de convertir la forma exponencial a la forma polar, verifique si la forma exponencial tiene la forma de Z = re ^i∅  y si los valores de r, ∅ ya se conocen en forma exponencial.
2. La forma polar se parece a Z = r(cos∅ + isin∅).
3. Para convertir a la estructura de forma polar anterior, necesitamos conocer los valores de r,∅ solo porque la forma polar también necesita valores de r,∅.
4. Sustituye el valor de r, ∅ por Z = r(cos∅ + isin∅) para convertir de forma exponencial a forma polar.

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Convierta 2 + i 9 en forma polar.

Solución: 

Sea Z = 2 + i 9 

Z tiene la forma de a + ib

Donde a = 2 y b = 9

Forma polar del número complejo Z = r (cos∅ + i sin∅)

Compara a + ib con la forma polar r cos∅ + i rsin∅

Aquí r = √(a ² + b ² )

r = √(2 ² + 9 ² ) 

r = √(4+81) 

r = raíz cuadrada (85)

r = 9,2

Y ∅ tiene fórmula que es tan(b/a)

∅ = bronceado ^-1 (b/a) = bronceado ^-1( 9/2)

∅ = 77°

A partir de este r,∅ podemos representar la forma general 2 + i9 en forma polar Z = 9.2(cos 77° + i sen 77°)

Pregunta 2: Convierte la forma polar (r, ∅) = (-1,0) en forma general.

Solución:  

Dado que las coordenadas de forma polar (r, ∅) = (-1, 0)

Forma general o forma rectangular del número complejo Z = a + ib

Donde a = rcos∅, b = r sin∅

De la forma polar dada en cuestión a = -1 × cos(0) y b = -1 × sin(0)

a = -1, b = 0 [cos(0) = 1 y sin(0) = 0]

Forma general Z = a + ib = -1 + i 0.

Pregunta 3: Convierta la forma exponencial 2e ⁱ⁸⁰ en forma general y polar.

Solución:      

Dado que la forma exponencial 2e ⁱ⁹⁰

2 e ⁱ⁸⁰ tiene la forma de re ^i∅

re ^i∅ se representa en forma polar como r(cos∅ + isin∅)

Donde r=2 y ∅=80 comparando

Sustituyendo r,∅ en forma polar r(cos∅+isin∅) obtenemos forma polar como 2(cos80+i sin80)

En la forma polar anterior a=2 cos80 y b=2 sin80 comparando la forma general y la forma polar 

a = 2 cos80 = 0,17 y b = 2 sen80 = 0,98

Forma general a + ib = 0.17 + i 0.98.

Pregunta 4: Convierte la forma polar (r, ∅) = (1, 90) en forma general.

Solución:  

Dado que las coordenadas de forma polar (r, ∅) = (1, 89)

Forma general o forma rectangular del número complejo Z = a + ib

Donde a = rcos∅, b = r sin∅

De la forma polar dada en cuestión a = 1× cos(89) y b = 1 × sin(89)

a = 0,017, b = 0,99 [cos(89) = 0,017 y sin(89) = 0,99]

Forma general Z = a + ib = 0,017 + i 0,99   

Pregunta 5: Convierta la forma polar (r, ∅) = (4, 45°) en la forma Exponencial.

Solución:  

Dado que las coordenadas de forma polar (r,∅)=(4,45)

Para convertir a forma exponencial tenemos la fórmula re ^i∅

Donde r = 4 y ∅ = 45

Por lo tanto Forma exponencial re ^i∅ = 4e ⁱ⁴⁵

Pregunta 6: Convierta Z = 7 + i9 en forma exponencial.

Solución:    

Para convertir a forma exponencial tenemos la fórmula re ^i∅

Compare Z = 7 + i9 con Z = a + ib entonces a = 7 y b = 9

Donde r = √(a ² + b ² )

r = √(7 × 7+ 9 × 9)

r = √(130)

r = 11,4

Donde ∅ = tan ^-1 (b/a) = tan ^-1 (9/7)

∅ = 52,12°   

Por lo tanto Forma exponencial re ^i∅  = 11.4 ei ^52.12